Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 2185 / 1166
↖ ↑ ↗
← N 77.934055°
W 83.979492°		 ← 1 021.46 m → N 77.934055°
W 83.935547°		 →
↑
1 021.84 m
↓
↑
1 021.84 m
↓
N 77.924865°
W 83.979492°		 ← 1 022.23 m →
1 044 165 m²		 N 77.924865°
W 83.935547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.26678466796875 y=0.14239501953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.26678466796875 × 213)
    floor (0.26678466796875 × 8192)
    floor (2185.5)     		tx = 2185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14239501953125 × 213)
    floor (0.14239501953125 × 8192)
    floor (1166.5)     		ty = 1166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2185 / 1166 ti = "13/2185/1166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2185/1166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2185 ÷ 213
    2185 ÷ 8192     		x = 0.2667236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1166 ÷ 213
    1166 ÷ 8192     		y = 0.142333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2667236328125 × 2 - 1) × π
    -0.466552734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.46571864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142333984375 × 2 - 1) × π
    0.71533203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24728185418823
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46571864} λ = -1.46571864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24728185418823))-π/2
    2×atan(9.46198180439541)-π/2
    2×1.46550109469921-π/2
    2.93100218939842-1.57079632675     		φ = 1.36020586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46571864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.979492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36020586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.934055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2185 KachelY 1166 -1.46571864 1.36020586 -83.979492 77.934055
    Oben rechts KachelX + 1 2186 KachelY 1166 -1.46495165 1.36020586 -83.935547 77.934055
    Unten links KachelX 2185 KachelY + 1 1167 -1.46571864 1.36004547 -83.979492 77.924865
    Unten rechts KachelX + 1 2186 KachelY + 1 1167 -1.46495165 1.36004547 -83.935547 77.924865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36020586-1.36004547) × R
    0.00016039000000001 × 6371000     		dl = 1021.84469000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36020586-1.36004547) × R
    0.00016039000000001 × 6371000     		dr = 1021.84469000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46571864--1.46495165) × cos(1.36020586) × R
    0.000766990000000023 × 0.20903735825219 × 6371000     		do = 1021.45964845868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46571864--1.46495165) × cos(1.36004547) × R
    0.000766990000000023 × 0.209194202171659 × 6371000     		du = 1022.22606521875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36020586)-sin(1.36004547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20903735825219-0.209194202171659)×R²
    abs(-1.46495165--1.46571864)×0.000156843919469074×R²
    0.000766990000000023×0.000156843919469074×6371000²
    0.000766990000000023×0.000156843919469074×40589641000000     		ar = 1044164.69951276m²