Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21848 / 8792
↖ ↑ ↗
← N 82.463188°
W119.992676°		 ← 40.06 m → N 82.463188°
W119.989929°		 →
↑
40.07 m
↓
↑
40.07 m
↓
N 82.462827°
W119.992676°		 ← 40.06 m →
1 605 m²		 N 82.462827°
W119.989929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166690826416016 y=0.0670814514160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166690826416016 × 217)
    floor (0.166690826416016 × 131072)
    floor (21848.5)     		tx = 21848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0670814514160156 × 217)
    floor (0.0670814514160156 × 131072)
    floor (8792.5)     		ty = 8792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21848 / 8792 ti = "17/21848/8792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21848/8792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21848 ÷ 217
    21848 ÷ 131072     		x = 0.16668701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8792 ÷ 217
    8792 ÷ 131072     		y = 0.06707763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16668701171875 × 2 - 1) × π
    -0.6666259765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.09426727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06707763671875 × 2 - 1) × π
    0.8658447265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.72013143204047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09426727} λ = -2.09426727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.72013143204047))-π/2
    2×atan(15.1823175568026)-π/2
    2×1.50502523258349-π/2
    3.01005046516698-1.57079632675     		φ = 1.43925414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09426727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.992676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43925414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.463188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21848 KachelY 8792 -2.09426727 1.43925414 -119.992676 82.463188
    Oben rechts KachelX + 1 21849 KachelY 8792 -2.09421933 1.43925414 -119.989929 82.463188
    Unten links KachelX 21848 KachelY + 1 8793 -2.09426727 1.43924785 -119.992676 82.462827
    Unten rechts KachelX + 1 21849 KachelY + 1 8793 -2.09421933 1.43924785 -119.989929 82.462827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43925414-1.43924785) × R
    6.28999999996438e-06 × 6371000     		dl = 40.0735899997731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43925414-1.43924785) × R
    6.28999999996438e-06 × 6371000     		dr = 40.0735899997731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09426727--2.09421933) × cos(1.43925414) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.131163161515345 × 6371000     		do = 40.0606056665376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09426727--2.09421933) × cos(1.43924785) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.131169397172149 × 6371000     		du = 40.0625101966311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43925414)-sin(1.43924785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.131163161515345-0.131169397172149)×R²
    abs(-2.09421933--2.09426727)×6.23565680324401e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.23565680324401e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.23565680324401e-06×40589641000000     		ar = 1605.41044725906m²