Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21841 / 9009
↖ ↑ ↗
← N 82.384609°
W120.011902°		 ← 40.48 m → N 82.384609°
W120.009155°		 →
↑
40.46 m
↓
↑
40.46 m
↓
N 82.384245°
W120.011902°		 ← 40.48 m →
1 638 m²		 N 82.384245°
W120.009155°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166637420654297 y=0.0687370300292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166637420654297 × 217)
    floor (0.166637420654297 × 131072)
    floor (21841.5)     		tx = 21841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0687370300292969 × 217)
    floor (0.0687370300292969 × 131072)
    floor (9009.5)     		ty = 9009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21841 / 9009 ti = "17/21841/9009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21841/9009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21841 ÷ 217
    21841 ÷ 131072     		x = 0.166633605957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9009 ÷ 217
    9009 ÷ 131072     		y = 0.0687332153320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.166633605957031 × 2 - 1) × π
    -0.666732788085938 × 3.1415926535     		Λ = -2.09460283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0687332153320312 × 2 - 1) × π
    0.862533569335938 × 3.1415926535     		Φ = 2.70972912482291
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09460283} λ = -2.09460283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.70972912482291))-π/2
    2×atan(15.0252050085333)-π/2
    2×1.50433950334395-π/2
    3.00867900668789-1.57079632675     		φ = 1.43788268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09460283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.011902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43788268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.384609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21841 KachelY 9009 -2.09460283 1.43788268 -120.011902 82.384609
    Oben rechts KachelX + 1 21842 KachelY 9009 -2.09455489 1.43788268 -120.009155 82.384609
    Unten links KachelX 21841 KachelY + 1 9010 -2.09460283 1.43787633 -120.011902 82.384245
    Unten rechts KachelX + 1 21842 KachelY + 1 9010 -2.09455489 1.43787633 -120.009155 82.384245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43788268-1.43787633) × R
    6.35000000004382e-06 × 6371000     		dl = 40.4558500002792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43788268-1.43787633) × R
    6.35000000004382e-06 × 6371000     		dr = 40.4558500002792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09460283--2.09455489) × cos(1.43788268) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.132522649411943 × 6371000     		do = 40.4758282633769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09460283--2.09455489) × cos(1.43787633) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.132528943402128 × 6371000     		du = 40.4777506099864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43788268)-sin(1.43787633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.132522649411943-0.132528943402128)×R²
    abs(-2.09455489--2.09460283)×6.29399018400867e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.29399018400867e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.29399018400867e-06×40589641000000     		ar = 1637.52292195154m²