Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21840 / 9008
↖ ↑ ↗
← N 82.384973°
W120.014649°		 ← 40.47 m → N 82.384973°
W120.011902°		 →
↑
40.46 m
↓
↑
40.46 m
↓
N 82.384609°
W120.014649°		 ← 40.48 m →
1 637 m²		 N 82.384609°
W120.011902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166629791259766 y=0.0687294006347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166629791259766 × 217)
    floor (0.166629791259766 × 131072)
    floor (21840.5)     		tx = 21840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0687294006347656 × 217)
    floor (0.0687294006347656 × 131072)
    floor (9008.5)     		ty = 9008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21840 / 9008 ti = "17/21840/9008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21840/9008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21840 ÷ 217
    21840 ÷ 131072     		x = 0.1666259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9008 ÷ 217
    9008 ÷ 131072     		y = 0.0687255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1666259765625 × 2 - 1) × π
    -0.666748046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.09465077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0687255859375 × 2 - 1) × π
    0.862548828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.70977706172253
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09465077} λ = -2.09465077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.70977706172253))-π/2
    2×atan(15.0259252875414)-π/2
    2×1.50434267963096-π/2
    3.00868535926192-1.57079632675     		φ = 1.43788903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09465077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.014649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43788903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.384973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21840 KachelY 9008 -2.09465077 1.43788903 -120.014649 82.384973
    Oben rechts KachelX + 1 21841 KachelY 9008 -2.09460283 1.43788903 -120.011902 82.384973
    Unten links KachelX 21840 KachelY + 1 9009 -2.09465077 1.43788268 -120.014649 82.384609
    Unten rechts KachelX + 1 21841 KachelY + 1 9009 -2.09460283 1.43788268 -120.011902 82.384609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43788903-1.43788268) × R
    6.35000000004382e-06 × 6371000     		dl = 40.4558500002792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43788903-1.43788268) × R
    6.35000000004382e-06 × 6371000     		dr = 40.4558500002792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09465077--2.09460283) × cos(1.43788903) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.132516355416416 × 6371000     		do = 40.4739059151353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09465077--2.09460283) × cos(1.43788268) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.132522649411943 × 6371000     		du = 40.4758282633769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43788903)-sin(1.43788268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.132516355416416-0.132522649411943)×R²
    abs(-2.09460283--2.09465077)×6.29399552765086e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.29399552765086e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.29399552765086e-06×40589641000000     		ar = 1637.44515162785m²