Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21830 / 13589
↖ ↑ ↗
← N 80.522579°
W120.042114°		 ← 50.28 m → N 80.522579°
W120.039368°		 →
↑
50.27 m
↓
↑
50.27 m
↓
N 80.522127°
W120.042114°		 ← 50.28 m →
2 528 m²		 N 80.522127°
W120.039368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166553497314453 y=0.103679656982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166553497314453 × 217)
    floor (0.166553497314453 × 131072)
    floor (21830.5)     		tx = 21830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103679656982422 × 217)
    floor (0.103679656982422 × 131072)
    floor (13589.5)     		ty = 13589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21830 / 13589 ti = "17/21830/13589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21830/13589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21830 ÷ 217
    21830 ÷ 131072     		x = 0.166549682617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13589 ÷ 217
    13589 ÷ 131072     		y = 0.103675842285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.166549682617188 × 2 - 1) × π
    -0.666900634765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.09513013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103675842285156 × 2 - 1) × π
    0.792648315429688 × 3.1415926535     		Φ = 2.49017812456306
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09513013} λ = -2.09513013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49017812456306))-π/2
    2×atan(12.0634247213372)-π/2
    2×1.48809022278892-π/2
    2.97618044557785-1.57079632675     		φ = 1.40538412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09513013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.042114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40538412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.522579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21830 KachelY 13589 -2.09513013 1.40538412 -120.042114 80.522579
    Oben rechts KachelX + 1 21831 KachelY 13589 -2.09508220 1.40538412 -120.039368 80.522579
    Unten links KachelX 21830 KachelY + 1 13590 -2.09513013 1.40537623 -120.042114 80.522127
    Unten rechts KachelX + 1 21831 KachelY + 1 13590 -2.09508220 1.40537623 -120.039368 80.522127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40538412-1.40537623) × R
    7.89000000001039e-06 × 6371000     		dl = 50.2671900000662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40538412-1.40537623) × R
    7.89000000001039e-06 × 6371000     		dr = 50.2671900000662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09513013--2.09508220) × cos(1.40538412) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.164658925373229 × 6371000     		do = 50.2805837096186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09513013--2.09508220) × cos(1.40537623) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.164666707674067 × 6371000     		du = 50.2829601288004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40538412)-sin(1.40537623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164658925373229-0.164666707674067)×R²
    abs(-2.09508220--2.09513013)×7.78230083747777e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.78230083747777e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.78230083747777e-06×40589641000000     		ar = 2527.52338273077m²