Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2183 / 647
↖ ↑ ↗
← N 81.879851°
W 84.067383°		 ← 690.21 m → N 81.879851°
W 84.023437°		 →
↑
690.49 m
↓
↑
690.49 m
↓
N 81.873641°
W 84.067383°		 ← 690.74 m →
476 766 m²		 N 81.873641°
W 84.023437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.26654052734375 y=0.07904052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.26654052734375 × 213)
    floor (0.26654052734375 × 8192)
    floor (2183.5)     		tx = 2183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.07904052734375 × 213)
    floor (0.07904052734375 × 8192)
    floor (647.5)     		ty = 647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2183 / 647 ti = "13/2183/647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2183/647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2183 ÷ 213
    2183 ÷ 8192     		x = 0.2664794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 647 ÷ 213
    647 ÷ 8192     		y = 0.0789794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2664794921875 × 2 - 1) × π
    -0.467041015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.46725262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0789794921875 × 2 - 1) × π
    0.842041015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.64534986863318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46725262} λ = -1.46725262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.64534986863318))-π/2
    2×atan(14.0883733008702)-π/2
    2×1.4999346576692-π/2
    2.99986931533841-1.57079632675     		φ = 1.42907299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46725262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.067383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42907299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.879851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2183 KachelY 647 -1.46725262 1.42907299 -84.067383 81.879851
    Oben rechts KachelX + 1 2184 KachelY 647 -1.46648563 1.42907299 -84.023437 81.879851
    Unten links KachelX 2183 KachelY + 1 648 -1.46725262 1.42896461 -84.067383 81.873641
    Unten rechts KachelX + 1 2184 KachelY + 1 648 -1.46648563 1.42896461 -84.023437 81.873641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42907299-1.42896461) × R
    0.00010838000000013 × 6371000     		dl = 690.488980000829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42907299-1.42896461) × R
    0.00010838000000013 × 6371000     		dr = 690.488980000829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46725262--1.46648563) × cos(1.42907299) × R
    0.000766990000000023 × 0.141249382246952 × 6371000     		do = 690.214158566397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46725262--1.46648563) × cos(1.42896461) × R
    0.000766990000000023 × 0.141356674804289 × 6371000     		du = 690.738442927889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42907299)-sin(1.42896461))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.141249382246952-0.141356674804289)×R²
    abs(-1.46648563--1.46725262)×0.000107292557336408×R²
    0.000766990000000023×0.000107292557336408×6371000²
    0.000766990000000023×0.000107292557336408×40589641000000     		ar = 476766.277086033m²