Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2183 / 645
↖ ↑ ↗
← N 81.892256°
W 84.067383°		 ← 689.17 m → N 81.892256°
W 84.023437°		 →
↑
689.47 m
↓
↑
689.47 m
↓
N 81.886056°
W 84.067383°		 ← 689.69 m →
475 340 m²		 N 81.886056°
W 84.023437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.26654052734375 y=0.07879638671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.26654052734375 × 213)
    floor (0.26654052734375 × 8192)
    floor (2183.5)     		tx = 2183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.07879638671875 × 213)
    floor (0.07879638671875 × 8192)
    floor (645.5)     		ty = 645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2183 / 645 ti = "13/2183/645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2183/645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2183 ÷ 213
    2183 ÷ 8192     		x = 0.2664794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 645 ÷ 213
    645 ÷ 8192     		y = 0.0787353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2664794921875 × 2 - 1) × π
    -0.467041015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.46725262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0787353515625 × 2 - 1) × π
    0.842529296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.64688384942102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46725262} λ = -1.46725262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.64688384942102))-π/2
    2×atan(14.1100011789794)-π/2
    2×1.50004291237013-π/2
    3.00008582474026-1.57079632675     		φ = 1.42928950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46725262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.067383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42928950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.892256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2183 KachelY 645 -1.46725262 1.42928950 -84.067383 81.892256
    Oben rechts KachelX + 1 2184 KachelY 645 -1.46648563 1.42928950 -84.023437 81.892256
    Unten links KachelX 2183 KachelY + 1 646 -1.46725262 1.42918128 -84.067383 81.886056
    Unten rechts KachelX + 1 2184 KachelY + 1 646 -1.46648563 1.42918128 -84.023437 81.886056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42928950-1.42918128) × R
    0.000108219999999992 × 6371000     		dl = 689.46961999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42928950-1.42918128) × R
    0.000108219999999992 × 6371000     		dr = 689.46961999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46725262--1.46648563) × cos(1.42928950) × R
    0.000766990000000023 × 0.141035039657255 × 6371000     		do = 689.16677494008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46725262--1.46648563) × cos(1.42918128) × R
    0.000766990000000023 × 0.14114217712951 × 6371000     		du = 689.690301479361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42928950)-sin(1.42918128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.141035039657255-0.14114217712951)×R²
    abs(-1.46648563--1.46725262)×0.000107137472255048×R²
    0.000766990000000023×0.000107137472255048×6371000²
    0.000766990000000023×0.000107137472255048×40589641000000     		ar = 475340.032722662m²