Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21823 / 9023
↖ ↑ ↗
← N 82.379511°
W120.061340°		 ← 40.49 m → N 82.379511°
W120.058594°		 →
↑
40.46 m
↓
↑
40.46 m
↓
N 82.379148°
W120.061340°		 ← 40.50 m →
1 638 m²		 N 82.379148°
W120.058594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166500091552734 y=0.0688438415527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166500091552734 × 217)
    floor (0.166500091552734 × 131072)
    floor (21823.5)     		tx = 21823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0688438415527344 × 217)
    floor (0.0688438415527344 × 131072)
    floor (9023.5)     		ty = 9023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21823 / 9023 ti = "17/21823/9023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21823/9023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21823 ÷ 217
    21823 ÷ 131072     		x = 0.166496276855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9023 ÷ 217
    9023 ÷ 131072     		y = 0.0688400268554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.166496276855469 × 2 - 1) × π
    -0.667007446289062 × 3.1415926535     		Λ = -2.09546569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0688400268554688 × 2 - 1) × π
    0.862319946289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.70905800822823
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09546569} λ = -2.09546569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.70905800822823))-π/2
    2×atan(15.015124727014)-π/2
    2×1.50429501947574-π/2
    3.00859003895148-1.57079632675     		φ = 1.43779371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09546569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.061340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43779371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.379511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21823 KachelY 9023 -2.09546569 1.43779371 -120.061340 82.379511
    Oben rechts KachelX + 1 21824 KachelY 9023 -2.09541776 1.43779371 -120.058594 82.379511
    Unten links KachelX 21823 KachelY + 1 9024 -2.09546569 1.43778736 -120.061340 82.379148
    Unten rechts KachelX + 1 21824 KachelY + 1 9024 -2.09541776 1.43778736 -120.058594 82.379148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43779371-1.43778736) × R
    6.35000000004382e-06 × 6371000     		dl = 40.4558500002792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43779371-1.43778736) × R
    6.35000000004382e-06 × 6371000     		dr = 40.4558500002792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09546569--2.09541776) × cos(1.43779371) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.132610834169905 × 6371000     		do = 40.4943135221403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09546569--2.09541776) × cos(1.43778736) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.132617128085192 × 6371000     		du = 40.4962354448891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43779371)-sin(1.43778736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.132610834169905-0.132617128085192)×R²
    abs(-2.09541776--2.09546569)×6.29391528739198e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.29391528739198e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.29391528739198e-06×40589641000000     		ar = 1638.27075019773m²