Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2182 / 646
↖ ↑ ↗
← N 81.886056°
W 84.111328°		 ← 689.69 m → N 81.886056°
W 84.067383°		 →
↑
689.92 m
↓
↑
689.92 m
↓
N 81.879851°
W 84.111328°		 ← 690.21 m →
476 009 m²		 N 81.879851°
W 84.067383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.26641845703125 y=0.07891845703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.26641845703125 × 213)
    floor (0.26641845703125 × 8192)
    floor (2182.5)     		tx = 2182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.07891845703125 × 213)
    floor (0.07891845703125 × 8192)
    floor (646.5)     		ty = 646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2182 / 646 ti = "13/2182/646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2182/646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2182 ÷ 213
    2182 ÷ 8192     		x = 0.266357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 646 ÷ 213
    646 ÷ 8192     		y = 0.078857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.266357421875 × 2 - 1) × π
    -0.46728515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.46801961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.078857421875 × 2 - 1) × π
    0.84228515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.6461168590271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46801961} λ = -1.46801961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.6461168590271))-π/2
    2×atan(14.0991830928313)-π/2
    2×1.49998880556945-π/2
    2.9999776111389-1.57079632675     		φ = 1.42918128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46801961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.111328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42918128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.886056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2182 KachelY 646 -1.46801961 1.42918128 -84.111328 81.886056
    Oben rechts KachelX + 1 2183 KachelY 646 -1.46725262 1.42918128 -84.067383 81.886056
    Unten links KachelX 2182 KachelY + 1 647 -1.46801961 1.42907299 -84.111328 81.879851
    Unten rechts KachelX + 1 2183 KachelY + 1 647 -1.46725262 1.42907299 -84.067383 81.879851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42918128-1.42907299) × R
    0.000108290000000011 × 6371000     		dl = 689.915590000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42918128-1.42907299) × R
    0.000108290000000011 × 6371000     		dr = 689.915590000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46801961--1.46725262) × cos(1.42918128) × R
    0.000766990000000023 × 0.14114217712951 × 6371000     		do = 689.690301479361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46801961--1.46725262) × cos(1.42907299) × R
    0.000766990000000023 × 0.141249382246952 × 6371000     		du = 690.214158566397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42918128)-sin(1.42907299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14114217712951-0.141249382246952)×R²
    abs(-1.46725262--1.46801961)×0.00010720511744236×R²
    0.000766990000000023×0.00010720511744236×6371000²
    0.000766990000000023×0.00010720511744236×40589641000000     		ar = 476008.800311398m²