Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 21808 / 46768
↖ ↑ ↗
← S 60.716198°
W 60.205078°		 ← 298.76 m → S 60.716198°
W 60.199585°		 →
↑
298.74 m
↓
↑
298.74 m
↓
S 60.718884°
W 60.205078°		 ← 298.73 m →
89 246 m²		 S 60.718884°
W 60.199585°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.332771301269531 y=0.713630676269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.332771301269531 × 216)
    floor (0.332771301269531 × 65536)
    floor (21808.5)     		tx = 21808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.713630676269531 × 216)
    floor (0.713630676269531 × 65536)
    floor (46768.5)     		ty = 46768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 21808 / 46768 ti = "16/21808/46768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/21808/46768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21808 ÷ 216
    21808 ÷ 65536     		x = 0.332763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46768 ÷ 216
    46768 ÷ 65536     		y = 0.713623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.332763671875 × 2 - 1) × π
    -0.33447265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.05077684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.713623046875 × 2 - 1) × π
    -0.42724609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.34223318936157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.05077684} λ = -1.05077684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.34223318936157))-π/2
    2×atan(0.261261570062924)-π/2
    2×0.255549383011812-π/2
    0.511098766023624-1.57079632675     		φ = -1.05969756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.05077684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.205078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.05969756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.716198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21808 KachelY 46768 -1.05077684 -1.05969756 -60.205078 -60.716198
    Oben rechts KachelX + 1 21809 KachelY 46768 -1.05068097 -1.05969756 -60.199585 -60.716198
    Unten links KachelX 21808 KachelY + 1 46769 -1.05077684 -1.05974445 -60.205078 -60.718884
    Unten rechts KachelX + 1 21809 KachelY + 1 46769 -1.05068097 -1.05974445 -60.199585 -60.718884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.05969756--1.05974445) × R
    4.68899999999106e-05 × 6371000     		dl = 298.736189999431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.05969756--1.05974445) × R
    4.68899999999106e-05 × 6371000     		dr = 298.736189999431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.05077684--1.05068097) × cos(-1.05969756) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.489135894690033 × 6371000     		do = 298.758222344673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.05077684--1.05068097) × cos(-1.05974445) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.489094996338523 × 6371000     		du = 298.733242131758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.05969756)-sin(-1.05974445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.489135894690033-0.489094996338523)×R²
    abs(-1.05068097--1.05077684)×4.08983515098882e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.08983515098882e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.08983515098882e-05×40589641000000     		ar = 89246.1618437732m²