Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 21807 / 46767
↖ ↑ ↗
← S 60.713511°
W 60.210571°		 ← 298.78 m → S 60.713511°
W 60.205078°		 →
↑
298.80 m
↓
↑
298.80 m
↓
S 60.716198°
W 60.210571°		 ← 298.76 m →
89 273 m²		 S 60.716198°
W 60.205078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.332756042480469 y=0.713615417480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.332756042480469 × 216)
    floor (0.332756042480469 × 65536)
    floor (21807.5)     		tx = 21807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.713615417480469 × 216)
    floor (0.713615417480469 × 65536)
    floor (46767.5)     		ty = 46767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 21807 / 46767 ti = "16/21807/46767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/21807/46767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21807 ÷ 216
    21807 ÷ 65536     		x = 0.332748413085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46767 ÷ 216
    46767 ÷ 65536     		y = 0.713607788085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.332748413085938 × 2 - 1) × π
    -0.334503173828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.05087271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.713607788085938 × 2 - 1) × π
    -0.427215576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.34213731556233
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.05087271} λ = -1.05087271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.34213731556233))-π/2
    2×atan(0.26128661940301)-π/2
    2×0.255572831650451-π/2
    0.511145663300902-1.57079632675     		φ = -1.05965066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.05087271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.210571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.05965066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.713511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21807 KachelY 46767 -1.05087271 -1.05965066 -60.210571 -60.713511
    Oben rechts KachelX + 1 21808 KachelY 46767 -1.05077684 -1.05965066 -60.205078 -60.713511
    Unten links KachelX 21807 KachelY + 1 46768 -1.05087271 -1.05969756 -60.210571 -60.716198
    Unten rechts KachelX + 1 21808 KachelY + 1 46768 -1.05077684 -1.05969756 -60.205078 -60.716198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.05965066--1.05969756) × R
    4.69000000000719e-05 × 6371000     		dl = 298.799900000458m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.05965066--1.05969756) × R
    4.69000000000719e-05 × 6371000     		dr = 298.799900000458m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.05087271--1.05077684) × cos(-1.05965066) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.48917680068794 × 6371000     		do = 298.783207227915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.05087271--1.05077684) × cos(-1.05969756) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.489135894690033 × 6371000     		du = 298.758222344673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.05965066)-sin(-1.05969756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.48917680068794-0.489135894690033)×R²
    abs(-1.05077684--1.05087271)×4.09059979071258e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.09059979071258e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.09059979071258e-05×40589641000000     		ar = 89272.65971762m²