Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21803 / 13574
↖ ↑ ↗
← N 80.529360°
W120.116272°		 ← 50.26 m → N 80.529360°
W120.113525°		 →
↑
50.27 m
↓
↑
50.27 m
↓
N 80.528908°
W120.116272°		 ← 50.26 m →
2 526 m²		 N 80.528908°
W120.113525°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166347503662109 y=0.103565216064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166347503662109 × 217)
    floor (0.166347503662109 × 131072)
    floor (21803.5)     		tx = 21803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103565216064453 × 217)
    floor (0.103565216064453 × 131072)
    floor (13574.5)     		ty = 13574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21803 / 13574 ti = "17/21803/13574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21803/13574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21803 ÷ 217
    21803 ÷ 131072     		x = 0.166343688964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13574 ÷ 217
    13574 ÷ 131072     		y = 0.103561401367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.166343688964844 × 2 - 1) × π
    -0.667312622070312 × 3.1415926535     		Λ = -2.09642443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103561401367188 × 2 - 1) × π
    0.792877197265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.49089717805736
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09642443} λ = -2.09642443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49089717805736))-π/2
    2×atan(12.072102088408)-π/2
    2×1.48814940108879-π/2
    2.97629880217758-1.57079632675     		φ = 1.40550248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09642443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.116272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40550248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.529360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21803 KachelY 13574 -2.09642443 1.40550248 -120.116272 80.529360
    Oben rechts KachelX + 1 21804 KachelY 13574 -2.09637649 1.40550248 -120.113525 80.529360
    Unten links KachelX 21803 KachelY + 1 13575 -2.09642443 1.40549459 -120.116272 80.528908
    Unten rechts KachelX + 1 21804 KachelY + 1 13575 -2.09637649 1.40549459 -120.113525 80.528908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40550248-1.40549459) × R
    7.89000000001039e-06 × 6371000     		dl = 50.2671900000662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40550248-1.40549459) × R
    7.89000000001039e-06 × 6371000     		dr = 50.2671900000662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09642443--2.09637649) × cos(1.40550248) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164542179767195 × 6371000     		do = 50.2554170165755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09642443--2.09637649) × cos(1.40549459) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16454996222175 × 6371000     		du = 50.257793978517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40550248)-sin(1.40549459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164542179767195-0.16454996222175)×R²
    abs(-2.09637649--2.09642443)×7.78245455504423e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.78245455504423e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.78245455504423e-06×40589641000000     		ar = 2526.2583373062m²