Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2180 / 1419
↖ ↑ ↗
← N 75.375605°
W 84.199218°		 ← 1 233.75 m → N 75.375605°
W 84.155273°		 →
↑
1 234.25 m
↓
↑
1 234.25 m
↓
N 75.364505°
W 84.199218°		 ← 1 234.66 m →
1 523 324 m²		 N 75.364505°
W 84.155273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.26617431640625 y=0.17327880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.26617431640625 × 213)
    floor (0.26617431640625 × 8192)
    floor (2180.5)     		tx = 2180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.17327880859375 × 213)
    floor (0.17327880859375 × 8192)
    floor (1419.5)     		ty = 1419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2180 / 1419 ti = "13/2180/1419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2180/1419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2180 ÷ 213
    2180 ÷ 8192     		x = 0.26611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1419 ÷ 213
    1419 ÷ 8192     		y = 0.1732177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26611328125 × 2 - 1) × π
    -0.4677734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.46955359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1732177734375 × 2 - 1) × π
    0.653564453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.05323328452625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46955359} λ = -1.46955359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05323328452625))-π/2
    2×atan(7.79305758787073)-π/2
    2×1.44317440608579-π/2
    2.88634881217159-1.57079632675     		φ = 1.31555249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46955359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.199218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31555249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.375605°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2180 KachelY 1419 -1.46955359 1.31555249 -84.199218 75.375605
    Oben rechts KachelX + 1 2181 KachelY 1419 -1.46878660 1.31555249 -84.155273 75.375605
    Unten links KachelX 2180 KachelY + 1 1420 -1.46955359 1.31535876 -84.199218 75.364505
    Unten rechts KachelX + 1 2181 KachelY + 1 1420 -1.46878660 1.31535876 -84.155273 75.364505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31555249-1.31535876) × R
    0.000193729999999892 × 6371000     		dl = 1234.25382999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31555249-1.31535876) × R
    0.000193729999999892 × 6371000     		dr = 1234.25382999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46955359--1.46878660) × cos(1.31555249) × R
    0.000766990000000023 × 0.2524813530498 × 6371000     		do = 1233.74843752801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46955359--1.46878660) × cos(1.31535876) × R
    0.000766990000000023 × 0.252668801799655 × 6371000     		du = 1234.66440458639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31555249)-sin(1.31535876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.2524813530498-0.252668801799655)×R²
    abs(-1.46878660--1.46955359)×0.000187448749854602×R²
    0.000766990000000023×0.000187448749854602×6371000²
    0.000766990000000023×0.000187448749854602×40589641000000     		ar = 1523324.00696297m²