Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21785 / 13689
↖ ↑ ↗
← N 80.477247°
W120.165711°		 ← 50.53 m → N 80.477247°
W120.162964°		 →
↑
50.52 m
↓
↑
50.52 m
↓
N 80.476792°
W120.165711°		 ← 50.53 m →
2 553 m²		 N 80.476792°
W120.162964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166210174560547 y=0.104442596435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166210174560547 × 217)
    floor (0.166210174560547 × 131072)
    floor (21785.5)     		tx = 21785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104442596435547 × 217)
    floor (0.104442596435547 × 131072)
    floor (13689.5)     		ty = 13689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21785 / 13689 ti = "17/21785/13689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21785/13689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21785 ÷ 217
    21785 ÷ 131072     		x = 0.166206359863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13689 ÷ 217
    13689 ÷ 131072     		y = 0.104438781738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.166206359863281 × 2 - 1) × π
    -0.667587280273438 × 3.1415926535     		Λ = -2.09728730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104438781738281 × 2 - 1) × π
    0.791122436523438 × 3.1415926535     		Φ = 2.48538443460105
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09728730} λ = -2.09728730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48538443460105))-π/2
    2×atan(12.0057347876447)-π/2
    2×1.48769462640428-π/2
    2.97538925280856-1.57079632675     		φ = 1.40459293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09728730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.165711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40459293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.477247°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21785 KachelY 13689 -2.09728730 1.40459293 -120.165711 80.477247
    Oben rechts KachelX + 1 21786 KachelY 13689 -2.09723936 1.40459293 -120.162964 80.477247
    Unten links KachelX 21785 KachelY + 1 13690 -2.09728730 1.40458500 -120.165711 80.476792
    Unten rechts KachelX + 1 21786 KachelY + 1 13690 -2.09723936 1.40458500 -120.162964 80.476792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40459293-1.40458500) × R
    7.92999999998933e-06 × 6371000     		dl = 50.5220299999321m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40459293-1.40458500) × R
    7.92999999998933e-06 × 6371000     		dr = 50.5220299999321m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09728730--2.09723936) × cos(1.40459293) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.165439264459095 × 6371000     		do = 50.5294097724416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09728730--2.09723936) × cos(1.40458500) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.165447085178338 × 6371000     		du = 50.5317984214037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40459293)-sin(1.40458500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165439264459095-0.165447085178338)×R²
    abs(-2.09723936--2.09728730)×7.82071924279593e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.82071924279593e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.82071924279593e-06×40589641000000     		ar = 2552.90869619618m²