Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 21784 / 13688
↖ ↑ ↗
← N 80.477701°
W120.168457°		 ← 50.52 m → N 80.477701°
W120.165711°		 →
↑
50.52 m
↓
↑
50.52 m
↓
N 80.477247°
W120.168457°		 ← 50.52 m →
2 552 m²		 N 80.477247°
W120.165711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166202545166016 y=0.104434967041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166202545166016 × 217)
    floor (0.166202545166016 × 131072)
    floor (21784.5)     		tx = 21784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104434967041016 × 217)
    floor (0.104434967041016 × 131072)
    floor (13688.5)     		ty = 13688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21784 / 13688 ti = "17/21784/13688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21784/13688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21784 ÷ 217
    21784 ÷ 131072     		x = 0.16619873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13688 ÷ 217
    13688 ÷ 131072     		y = 0.10443115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16619873046875 × 2 - 1) × π
    -0.6676025390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.09733523
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10443115234375 × 2 - 1) × π
    0.7911376953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.48543237150067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09733523} λ = -2.09733523}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48543237150067))-π/2
    2×atan(12.0063103191426)-π/2
    2×1.48769859163335-π/2
    2.9753971832667-1.57079632675     		φ = 1.40460086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09733523} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.168457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40460086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.477701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21784 KachelY 13688 -2.09733523 1.40460086 -120.168457 80.477701
    Oben rechts KachelX + 1 21785 KachelY 13688 -2.09728730 1.40460086 -120.165711 80.477701
    Unten links KachelX 21784 KachelY + 1 13689 -2.09733523 1.40459293 -120.168457 80.477247
    Unten rechts KachelX + 1 21785 KachelY + 1 13689 -2.09728730 1.40459293 -120.165711 80.477247
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40460086-1.40459293) × R
    7.92999999998933e-06 × 6371000     		dl = 50.5220299999321m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40460086-1.40459293) × R
    7.92999999998933e-06 × 6371000     		dr = 50.5220299999321m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09733523--2.09728730) × cos(1.40460086) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.165431443729448 × 6371000     		do = 50.5164814830861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09733523--2.09728730) × cos(1.40459293) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.165439264459095 × 6371000     		du = 50.518869636967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40460086)-sin(1.40459293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165431443729448-0.165439264459095)×R²
    abs(-2.09728730--2.09733523)×7.82072964644609e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.82072964644609e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.82072964644609e-06×40589641000000     		ar = 2552.25552017857m²