Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21783 / 29911
↖ ↑ ↗
← N 69.450806°
W120.171204°		 ← 107.21 m → N 69.450806°
W120.168457°		 →
↑
107.16 m
↓
↑
107.16 m
↓
N 69.449842°
W120.171204°		 ← 107.21 m →
11 489 m²		 N 69.449842°
W120.168457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166194915771484 y=0.228206634521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166194915771484 × 217)
    floor (0.166194915771484 × 131072)
    floor (21783.5)     		tx = 21783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228206634521484 × 217)
    floor (0.228206634521484 × 131072)
    floor (29911.5)     		ty = 29911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21783 / 29911 ti = "17/21783/29911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21783/29911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21783 ÷ 217
    21783 ÷ 131072     		x = 0.166191101074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29911 ÷ 217
    29911 ÷ 131072     		y = 0.228202819824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.166191101074219 × 2 - 1) × π
    -0.667617797851562 × 3.1415926535     		Λ = -2.09738317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228202819824219 × 2 - 1) × π
    0.543594360351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.7077520489645
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09738317} λ = -2.09738317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7077520489645))-π/2
    2×atan(5.51654660218918)-π/2
    2×1.39147078071542-π/2
    2.78294156143085-1.57079632675     		φ = 1.21214523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09738317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.171204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21214523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.450806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21783 KachelY 29911 -2.09738317 1.21214523 -120.171204 69.450806
    Oben rechts KachelX + 1 21784 KachelY 29911 -2.09733523 1.21214523 -120.168457 69.450806
    Unten links KachelX 21783 KachelY + 1 29912 -2.09738317 1.21212841 -120.171204 69.449842
    Unten rechts KachelX + 1 21784 KachelY + 1 29912 -2.09733523 1.21212841 -120.168457 69.449842
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21214523-1.21212841) × R
    1.68199999999175e-05 × 6371000     		dl = 107.160219999474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21214523-1.21212841) × R
    1.68199999999175e-05 × 6371000     		dr = 107.160219999474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09738317--2.09733523) × cos(1.21214523) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.351011478944371 × 6371000     		do = 107.207940705009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09738317--2.09733523) × cos(1.21212841) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.35102722865756 × 6371000     		du = 107.212751072814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21214523)-sin(1.21212841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351011478944371-0.35102722865756)×R²
    abs(-2.09733523--2.09738317)×1.57497131891282e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57497131891282e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57497131891282e-05×40589641000000     		ar = 11488.6842519273m²