Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21778 / 29910
↖ ↑ ↗
← N 69.451770°
W120.184936°		 ← 107.18 m → N 69.451770°
W120.182190°		 →
↑
107.22 m
↓
↑
107.22 m
↓
N 69.450806°
W120.184936°		 ← 107.19 m →
11 493 m²		 N 69.450806°
W120.182190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166156768798828 y=0.228199005126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166156768798828 × 217)
    floor (0.166156768798828 × 131072)
    floor (21778.5)     		tx = 21778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228199005126953 × 217)
    floor (0.228199005126953 × 131072)
    floor (29910.5)     		ty = 29910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21778 / 29910 ti = "17/21778/29910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21778/29910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21778 ÷ 217
    21778 ÷ 131072     		x = 0.166152954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29910 ÷ 217
    29910 ÷ 131072     		y = 0.228195190429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.166152954101562 × 2 - 1) × π
    -0.667694091796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.09762285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228195190429688 × 2 - 1) × π
    0.543609619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.70779998586412
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09762285} λ = -2.09762285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70779998586412))-π/2
    2×atan(5.51681105466836)-π/2
    2×1.39147919372752-π/2
    2.78295838745504-1.57079632675     		φ = 1.21216206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09762285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.184936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21216206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.451770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21778 KachelY 29910 -2.09762285 1.21216206 -120.184936 69.451770
    Oben rechts KachelX + 1 21779 KachelY 29910 -2.09757492 1.21216206 -120.182190 69.451770
    Unten links KachelX 21778 KachelY + 1 29911 -2.09762285 1.21214523 -120.184936 69.450806
    Unten rechts KachelX + 1 21779 KachelY + 1 29911 -2.09757492 1.21214523 -120.182190 69.450806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21216206-1.21214523) × R
    1.68300000000787e-05 × 6371000     		dl = 107.223930000502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21216206-1.21214523) × R
    1.68300000000787e-05 × 6371000     		dr = 107.223930000502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09762285--2.09757492) × cos(1.21216206) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.350995719768106 × 6371000     		do = 107.180765509765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09762285--2.09757492) × cos(1.21214523) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.351011478944371 × 6371000     		du = 107.185577763821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21216206)-sin(1.21214523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350995719768106-0.351011478944371)×R²
    abs(-2.09757492--2.09762285)×1.57591762653397e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.57591762653397e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.57591762653397e-05×40589641000000     		ar = 11492.6008931699m²