Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2177 / 135
↖ ↑ ↗
← N 84.512020°
W 84.331055°		 ← 467.33 m → N 84.512020°
W 84.287110°		 →
↑
467.50 m
↓
↑
467.50 m
↓
N 84.507816°
W 84.331055°		 ← 467.69 m →
218 562 m²		 N 84.507816°
W 84.287110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.26580810546875 y=0.01654052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.26580810546875 × 213)
    floor (0.26580810546875 × 8192)
    floor (2177.5)     		tx = 2177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.01654052734375 × 213)
    floor (0.01654052734375 × 8192)
    floor (135.5)     		ty = 135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2177 / 135 ti = "13/2177/135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2177/135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2177 ÷ 213
    2177 ÷ 8192     		x = 0.2657470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 135 ÷ 213
    135 ÷ 8192     		y = 0.0164794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2657470703125 × 2 - 1) × π
    -0.468505859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.47185457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0164794921875 × 2 - 1) × π
    0.967041015625 × 3.1415926535     		Φ = 3.03804895032068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47185457} λ = -1.47185457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(3.03804895032068))-π/2
    2×atan(20.8644958300143)-π/2
    2×1.52290466652327-π/2
    3.04580933304653-1.57079632675     		φ = 1.47501301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47185457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.331055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.47501301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 84.512020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2177 KachelY 135 -1.47185457 1.47501301 -84.331055 84.512020
    Oben rechts KachelX + 1 2178 KachelY 135 -1.47108758 1.47501301 -84.287110 84.512020
    Unten links KachelX 2177 KachelY + 1 136 -1.47185457 1.47493963 -84.331055 84.507816
    Unten rechts KachelX + 1 2178 KachelY + 1 136 -1.47108758 1.47493963 -84.287110 84.507816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.47501301-1.47493963) × R
    7.33800000001228e-05 × 6371000     		dl = 467.503980000782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.47501301-1.47493963) × R
    7.33800000001228e-05 × 6371000     		dr = 467.503980000782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47185457--1.47108758) × cos(1.47501301) × R
    0.000766990000000023 × 0.095636924188799 × 6371000     		do = 467.329188324819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47185457--1.47108758) × cos(1.47493963) × R
    0.000766990000000023 × 0.0957099675781793 × 6371000     		du = 467.686114356905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.47501301)-sin(1.47493963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.095636924188799-0.0957099675781793)×R²
    abs(-1.47108758--1.47185457)×7.30433893803284e-05×R²
    0.000766990000000023×7.30433893803284e-05×6371000²
    0.000766990000000023×7.30433893803284e-05×40589641000000     		ar = 218561.687782628m²