Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21768 / 13063
↖ ↑ ↗
← N 80.757527°
W120.212402°		 ← 49.05 m → N 80.757527°
W120.209656°		 →
↑
49.06 m
↓
↑
49.06 m
↓
N 80.757086°
W120.212402°		 ← 49.05 m →
2 406 m²		 N 80.757086°
W120.209656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166080474853516 y=0.0996665954589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166080474853516 × 217)
    floor (0.166080474853516 × 131072)
    floor (21768.5)     		tx = 21768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0996665954589844 × 217)
    floor (0.0996665954589844 × 131072)
    floor (13063.5)     		ty = 13063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21768 / 13063 ti = "17/21768/13063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21768/13063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21768 ÷ 217
    21768 ÷ 131072     		x = 0.16607666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13063 ÷ 217
    13063 ÷ 131072     		y = 0.0996627807617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16607666015625 × 2 - 1) × π
    -0.6678466796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.09810222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0996627807617188 × 2 - 1) × π
    0.800674438476562 × 3.1415926535     		Φ = 2.51539293376321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09810222} λ = -2.09810222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51539293376321))-π/2
    2×atan(12.3714689920462)-π/2
    2×1.49014053664902-π/2
    2.98028107329805-1.57079632675     		φ = 1.40948475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09810222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.212402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40948475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.757527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21768 KachelY 13063 -2.09810222 1.40948475 -120.212402 80.757527
    Oben rechts KachelX + 1 21769 KachelY 13063 -2.09805429 1.40948475 -120.209656 80.757527
    Unten links KachelX 21768 KachelY + 1 13064 -2.09810222 1.40947705 -120.212402 80.757086
    Unten rechts KachelX + 1 21769 KachelY + 1 13064 -2.09805429 1.40947705 -120.209656 80.757086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40948475-1.40947705) × R
    7.70000000005489e-06 × 6371000     		dl = 49.0567000003497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40948475-1.40947705) × R
    7.70000000005489e-06 × 6371000     		dr = 49.0567000003497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09810222--2.09805429) × cos(1.40948475) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.160612893606923 × 6371000     		do = 49.0450792360142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09810222--2.09805429) × cos(1.40947705) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.160620493636729 × 6371000     		du = 49.0473999965437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40948475)-sin(1.40947705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160612893606923-0.160620493636729)×R²
    abs(-2.09805429--2.09810222)×7.60002980565444e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.60002980565444e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.60002980565444e-06×40589641000000     		ar = 2406.04666302949m²