Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 21766 / 13611
↖ ↑ ↗
← N 80.512624°
W120.217896°		 ← 50.34 m → N 80.512624°
W120.215149°		 →
↑
50.33 m
↓
↑
50.33 m
↓
N 80.512171°
W120.217896°		 ← 50.35 m →
2 534 m²		 N 80.512171°
W120.215149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166065216064453 y=0.103847503662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166065216064453 × 217)
    floor (0.166065216064453 × 131072)
    floor (21766.5)     		tx = 21766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103847503662109 × 217)
    floor (0.103847503662109 × 131072)
    floor (13611.5)     		ty = 13611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21766 / 13611 ti = "17/21766/13611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21766/13611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21766 ÷ 217
    21766 ÷ 131072     		x = 0.166061401367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13611 ÷ 217
    13611 ÷ 131072     		y = 0.103843688964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.166061401367188 × 2 - 1) × π
    -0.667877197265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.09819810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103843688964844 × 2 - 1) × π
    0.792312622070312 × 3.1415926535     		Φ = 2.48912351277142
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09819810} λ = -2.09819810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48912351277142))-π/2
    2×atan(12.0507091975277)-π/2
    2×1.48800335199218-π/2
    2.97600670398435-1.57079632675     		φ = 1.40521038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09819810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.217896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40521038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.512624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21766 KachelY 13611 -2.09819810 1.40521038 -120.217896 80.512624
    Oben rechts KachelX + 1 21767 KachelY 13611 -2.09815016 1.40521038 -120.215149 80.512624
    Unten links KachelX 21766 KachelY + 1 13612 -2.09819810 1.40520248 -120.217896 80.512171
    Unten rechts KachelX + 1 21767 KachelY + 1 13612 -2.09815016 1.40520248 -120.215149 80.512171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40521038-1.40520248) × R
    7.89999999994961e-06 × 6371000     		dl = 50.330899999679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40521038-1.40520248) × R
    7.89999999994961e-06 × 6371000     		dr = 50.330899999679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09819810--2.09815016) × cos(1.40521038) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164830291434474 × 6371000     		do = 50.343413735757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09819810--2.09815016) × cos(1.40520248) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16483808337268 × 6371000     		du = 50.3457935942494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40521038)-sin(1.40520248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164830291434474-0.16483808337268)×R²
    abs(-2.09815016--2.09819810)×7.7919382051872e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.7919382051872e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.7919382051872e-06×40589641000000     		ar = 2533.88921270986m²