Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 21764 / 46835
↖ ↑ ↗
← S 60.895717°
W 60.446778°		 ← 297.12 m → S 60.895717°
W 60.441284°		 →
↑
297.08 m
↓
↑
297.08 m
↓
S 60.898389°
W 60.446778°		 ← 297.09 m →
88 264 m²		 S 60.898389°
W 60.441284°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.332099914550781 y=0.714653015136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.332099914550781 × 216)
    floor (0.332099914550781 × 65536)
    floor (21764.5)     		tx = 21764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.714653015136719 × 216)
    floor (0.714653015136719 × 65536)
    floor (46835.5)     		ty = 46835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 21764 / 46835 ti = "16/21764/46835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/21764/46835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21764 ÷ 216
    21764 ÷ 65536     		x = 0.33209228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46835 ÷ 216
    46835 ÷ 65536     		y = 0.714645385742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33209228515625 × 2 - 1) × π
    -0.3358154296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.05499529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.714645385742188 × 2 - 1) × π
    -0.429290771484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.34865673391066
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.05499529} λ = -1.05499529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.34865673391066))-π/2
    2×atan(0.259588723283635)-π/2
    2×0.253982785141828-π/2
    0.507965570283656-1.57079632675     		φ = -1.06283076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.05499529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.446778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06283076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.895717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21764 KachelY 46835 -1.05499529 -1.06283076 -60.446778 -60.895717
    Oben rechts KachelX + 1 21765 KachelY 46835 -1.05489941 -1.06283076 -60.441284 -60.895717
    Unten links KachelX 21764 KachelY + 1 46836 -1.05499529 -1.06287739 -60.446778 -60.898389
    Unten rechts KachelX + 1 21765 KachelY + 1 46836 -1.05489941 -1.06287739 -60.441284 -60.898389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06283076--1.06287739) × R
    4.66299999999364e-05 × 6371000     		dl = 297.079729999595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06283076--1.06287739) × R
    4.66299999999364e-05 × 6371000     		dr = 297.079729999595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.05499529--1.05489941) × cos(-1.06283076) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.486400697439221 × 6371000     		do = 297.118585903586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.05499529--1.05489941) × cos(-1.06287739) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.486359954607054 × 6371000     		du = 297.093698084257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06283076)-sin(-1.06287739))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.486400697439221-0.486359954607054)×R²
    abs(-1.05489941--1.05499529)×4.07428321675951e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.07428321675951e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.07428321675951e-05×40589641000000     		ar = 88264.212460512m²