Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 21763 / 46837
↖ ↑ ↗
← S 60.901060°
W 60.452270°		 ← 297.04 m → S 60.901060°
W 60.446778°		 →
↑
297.08 m
↓
↑
297.08 m
↓
S 60.903731°
W 60.452270°		 ← 297.01 m →
88 240 m²		 S 60.903731°
W 60.446778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.332084655761719 y=0.714683532714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.332084655761719 × 216)
    floor (0.332084655761719 × 65536)
    floor (21763.5)     		tx = 21763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.714683532714844 × 216)
    floor (0.714683532714844 × 65536)
    floor (46837.5)     		ty = 46837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 21763 / 46837 ti = "16/21763/46837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/21763/46837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21763 ÷ 216
    21763 ÷ 65536     		x = 0.332077026367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46837 ÷ 216
    46837 ÷ 65536     		y = 0.714675903320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.332077026367188 × 2 - 1) × π
    -0.335845947265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.05509116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.714675903320312 × 2 - 1) × π
    -0.429351806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.34884848150914
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.05509116} λ = -1.05509116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.34884848150914))-π/2
    2×atan(0.259538952541216)-π/2
    2×0.253936155964946-π/2
    0.507872311929892-1.57079632675     		φ = -1.06292401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.05509116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.452270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06292401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.901060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21763 KachelY 46837 -1.05509116 -1.06292401 -60.452270 -60.901060
    Oben rechts KachelX + 1 21764 KachelY 46837 -1.05499529 -1.06292401 -60.446778 -60.901060
    Unten links KachelX 21763 KachelY + 1 46838 -1.05509116 -1.06297064 -60.452270 -60.903731
    Unten rechts KachelX + 1 21764 KachelY + 1 46838 -1.05499529 -1.06297064 -60.446778 -60.903731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06292401--1.06297064) × R
    4.66300000001585e-05 × 6371000     		dl = 297.07973000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06292401--1.06297064) × R
    4.66300000001585e-05 × 6371000     		dr = 297.07973000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.05509116--1.05499529) × cos(-1.06292401) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.486319219455178 × 6371000     		do = 297.037831559162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.05509116--1.05499529) × cos(-1.06297064) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.486278474508286 × 6371000     		du = 297.012945043911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06292401)-sin(-1.06297064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.486319219455178-0.486278474508286)×R²
    abs(-1.05499529--1.05509116)×4.07449468927124e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.07449468927124e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.07449468927124e-05×40589641000000     		ar = 88240.2221762109m²