Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 21762 / 46853
↖ ↑ ↗
← S 60.943774°
W 60.457763°		 ← 296.64 m → S 60.943774°
W 60.452270°		 →
↑
296.63 m
↓
↑
296.63 m
↓
S 60.946442°
W 60.457763°		 ← 296.62 m →
87 990 m²		 S 60.946442°
W 60.452270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.332069396972656 y=0.714927673339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.332069396972656 × 216)
    floor (0.332069396972656 × 65536)
    floor (21762.5)     		tx = 21762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.714927673339844 × 216)
    floor (0.714927673339844 × 65536)
    floor (46853.5)     		ty = 46853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 21762 / 46853 ti = "16/21762/46853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/21762/46853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21762 ÷ 216
    21762 ÷ 65536     		x = 0.332061767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46853 ÷ 216
    46853 ÷ 65536     		y = 0.714920043945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.332061767578125 × 2 - 1) × π
    -0.33587646484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.05518703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.714920043945312 × 2 - 1) × π
    -0.429840087890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.35038246229698
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.05518703} λ = -1.05518703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35038246229698))-π/2
    2×atan(0.259141129978414)-π/2
    2×0.253563403700659-π/2
    0.507126807401317-1.57079632675     		φ = -1.06366952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.05518703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.457763°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06366952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.943774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21762 KachelY 46853 -1.05518703 -1.06366952 -60.457763 -60.943774
    Oben rechts KachelX + 1 21763 KachelY 46853 -1.05509116 -1.06366952 -60.452270 -60.943774
    Unten links KachelX 21762 KachelY + 1 46854 -1.05518703 -1.06371608 -60.457763 -60.946442
    Unten rechts KachelX + 1 21763 KachelY + 1 46854 -1.05509116 -1.06371608 -60.452270 -60.946442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06366952--1.06371608) × R
    4.65600000001398e-05 × 6371000     		dl = 296.633760000891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06366952--1.06371608) × R
    4.65600000001398e-05 × 6371000     		dr = 296.633760000891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.05518703--1.05509116) × cos(-1.06366952) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.485667671735252 × 6371000     		do = 296.63987418026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.05518703--1.05509116) × cos(-1.06371608) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.485626971086044 × 6371000     		du = 296.615014721493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06366952)-sin(-1.06371608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.485667671735252-0.485626971086044)×R²
    abs(-1.05509116--1.05518703)×4.07006492079143e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.07006492079143e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.07006492079143e-05×40589641000000     		ar = 87989.7141825675m²