Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 21761 / 46851
↖ ↑ ↗
← S 60.938438°
W 60.463257°		 ← 296.72 m → S 60.938438°
W 60.457763°		 →
↑
296.63 m
↓
↑
296.63 m
↓
S 60.941106°
W 60.463257°		 ← 296.70 m →
88 014 m²		 S 60.941106°
W 60.457763°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.332054138183594 y=0.714897155761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.332054138183594 × 216)
    floor (0.332054138183594 × 65536)
    floor (21761.5)     		tx = 21761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.714897155761719 × 216)
    floor (0.714897155761719 × 65536)
    floor (46851.5)     		ty = 46851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 21761 / 46851 ti = "16/21761/46851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/21761/46851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21761 ÷ 216
    21761 ÷ 65536     		x = 0.332046508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46851 ÷ 216
    46851 ÷ 65536     		y = 0.714889526367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.332046508789062 × 2 - 1) × π
    -0.335906982421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.05528291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.714889526367188 × 2 - 1) × π
    -0.429779052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.3501907146985
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.05528291} λ = -1.05528291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3501907146985))-π/2
    2×atan(0.259190824431999)-π/2
    2×0.253609970408028-π/2
    0.507219940816056-1.57079632675     		φ = -1.06357639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.05528291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.463257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06357639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.938438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21761 KachelY 46851 -1.05528291 -1.06357639 -60.463257 -60.938438
    Oben rechts KachelX + 1 21762 KachelY 46851 -1.05518703 -1.06357639 -60.457763 -60.938438
    Unten links KachelX 21761 KachelY + 1 46852 -1.05528291 -1.06362295 -60.463257 -60.941106
    Unten rechts KachelX + 1 21762 KachelY + 1 46852 -1.05518703 -1.06362295 -60.457763 -60.941106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06357639--1.06362295) × R
    4.65600000001398e-05 × 6371000     		dl = 296.633760000891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06357639--1.06362295) × R
    4.65600000001398e-05 × 6371000     		dr = 296.633760000891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.05528291--1.05518703) × cos(-1.06357639) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.485749078616022 × 6371000     		do = 296.720543581726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.05528291--1.05518703) × cos(-1.06362295) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.485708380072822 × 6371000     		du = 296.695682816378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06357639)-sin(-1.06362295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.485749078616022-0.485708380072822)×R²
    abs(-1.05518703--1.05528291)×4.06985432001572e-05×R²
    9.58800000001592e-05×4.06985432001572e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×4.06985432001572e-05×40589641000000     		ar = 88013.6432569625m²