Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 21760 / 46852
↖ ↑ ↗
← S 60.941106°
W 60.468750°		 ← 296.66 m → S 60.941106°
W 60.463257°		 →
↑
296.70 m
↓
↑
296.70 m
↓
S 60.943774°
W 60.468750°		 ← 296.64 m →
88 016 m²		 S 60.943774°
W 60.463257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.332038879394531 y=0.714912414550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.332038879394531 × 216)
    floor (0.332038879394531 × 65536)
    floor (21760.5)     		tx = 21760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.714912414550781 × 216)
    floor (0.714912414550781 × 65536)
    floor (46852.5)     		ty = 46852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 21760 / 46852 ti = "16/21760/46852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/21760/46852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21760 ÷ 216
    21760 ÷ 65536     		x = 0.33203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46852 ÷ 216
    46852 ÷ 65536     		y = 0.71490478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33203125 × 2 - 1) × π
    -0.3359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.05537878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71490478515625 × 2 - 1) × π
    -0.4298095703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.35028658849774
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.05537878} λ = -1.05537878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35028658849774))-π/2
    2×atan(0.259165976014108)-π/2
    2×0.253586686078709-π/2
    0.507173372157419-1.57079632675     		φ = -1.06362295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.05537878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.468750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06362295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.941106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21760 KachelY 46852 -1.05537878 -1.06362295 -60.468750 -60.941106
    Oben rechts KachelX + 1 21761 KachelY 46852 -1.05528291 -1.06362295 -60.463257 -60.941106
    Unten links KachelX 21760 KachelY + 1 46853 -1.05537878 -1.06366952 -60.468750 -60.943774
    Unten rechts KachelX + 1 21761 KachelY + 1 46853 -1.05528291 -1.06366952 -60.463257 -60.943774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06362295--1.06366952) × R
    4.6569999999857e-05 × 6371000     		dl = 296.697469999089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06362295--1.06366952) × R
    4.6569999999857e-05 × 6371000     		dr = 296.697469999089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.05537878--1.05528291) × cos(-1.06362295) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.485708380072822 × 6371000     		do = 296.664738334985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.05537878--1.05528291) × cos(-1.06366952) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.485667671735252 × 6371000     		du = 296.63987418026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06362295)-sin(-1.06366952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.485708380072822-0.485667671735252)×R²
    abs(-1.05528291--1.05537878)×4.07083375701389e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.07083375701389e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.07083375701389e-05×40589641000000     		ar = 88015.9887521301m²