Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2176 / 3056
↖ ↑ ↗
← S 65.946472°
E 11.250000°		 ← 3 983.37 m → S 65.946472°
E 11.337891°		 →
↑
3 980.60 m
↓
↑
3 980.60 m
↓
S 65.982270°
E 11.250000°		 ← 3 977.79 m →
15 845 111 m²		 S 65.982270°
E 11.337891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5313720703125 y=0.7462158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5313720703125 × 212)
    floor (0.5313720703125 × 4096)
    floor (2176.5)     		tx = 2176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7462158203125 × 212)
    floor (0.7462158203125 × 4096)
    floor (3056.5)     		ty = 3056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2176 / 3056 ti = "12/2176/3056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2176/3056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2176 ÷ 212
    2176 ÷ 4096     		x = 0.53125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3056 ÷ 212
    3056 ÷ 4096     		y = 0.74609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53125 × 2 - 1) × π
    0.0625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74609375 × 2 - 1) × π
    -0.4921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54625263414453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19634954} λ = 0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54625263414453))-π/2
    2×atan(0.213044836772739)-π/2
    2×0.209906632122725-π/2
    0.419813264245451-1.57079632675     		φ = -1.15098306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15098306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.946472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2176 KachelY 3056 0.19634954 -1.15098306 11.250000 -65.946472
    Oben rechts KachelX + 1 2177 KachelY 3056 0.19788352 -1.15098306 11.337891 -65.946472
    Unten links KachelX 2176 KachelY + 1 3057 0.19634954 -1.15160786 11.250000 -65.982270
    Unten rechts KachelX + 1 2177 KachelY + 1 3057 0.19788352 -1.15160786 11.337891 -65.982270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15098306--1.15160786) × R
    0.000624799999999981 × 6371000     		dl = 3980.60079999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15098306--1.15160786) × R
    0.000624799999999981 × 6371000     		dr = 3980.60079999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19634954-0.19788352) × cos(-1.15098306) × R
    0.00153398000000002 × 0.407589941927033 × 6371000     		do = 3983.37103259592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19634954-0.19788352) × cos(-1.15160786) × R
    0.00153398000000002 × 0.407019316873945 × 6371000     		du = 3977.79432160988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15098306)-sin(-1.15160786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407589941927033-0.407019316873945)×R²
    abs(0.19788352-0.19634954)×0.000570625053088358×R²
    0.00153398000000002×0.000570625053088358×6371000²
    0.00153398000000002×0.000570625053088358×40589641000000     		ar = 15845111.1044049m²