Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 21758 / 46862
↖ ↑ ↗
← S 60.967776°
W 60.479736°		 ← 296.42 m → S 60.967776°
W 60.474243°		 →
↑
296.38 m
↓
↑
296.38 m
↓
S 60.970441°
W 60.479736°		 ← 296.39 m →
87 848 m²		 S 60.970441°
W 60.474243°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.332008361816406 y=0.715065002441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.332008361816406 × 216)
    floor (0.332008361816406 × 65536)
    floor (21758.5)     		tx = 21758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.715065002441406 × 216)
    floor (0.715065002441406 × 65536)
    floor (46862.5)     		ty = 46862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 21758 / 46862 ti = "16/21758/46862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/21758/46862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21758 ÷ 216
    21758 ÷ 65536     		x = 0.332000732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46862 ÷ 216
    46862 ÷ 65536     		y = 0.715057373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.332000732421875 × 2 - 1) × π
    -0.33599853515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.05557053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.715057373046875 × 2 - 1) × π
    -0.43011474609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.35124532649014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.05557053} λ = -1.05557053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35124532649014))-π/2
    2×atan(0.258917622818411)-π/2
    2×0.253353950086622-π/2
    0.506707900173244-1.57079632675     		φ = -1.06408843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.05557053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.479736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06408843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.967776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21758 KachelY 46862 -1.05557053 -1.06408843 -60.479736 -60.967776
    Oben rechts KachelX + 1 21759 KachelY 46862 -1.05547466 -1.06408843 -60.474243 -60.967776
    Unten links KachelX 21758 KachelY + 1 46863 -1.05557053 -1.06413495 -60.479736 -60.970441
    Unten rechts KachelX + 1 21759 KachelY + 1 46863 -1.05547466 -1.06413495 -60.474243 -60.970441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06408843--1.06413495) × R
    4.65199999999388e-05 × 6371000     		dl = 296.37891999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06408843--1.06413495) × R
    4.65199999999388e-05 × 6371000     		dr = 296.37891999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.05557053--1.05547466) × cos(-1.06408843) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.485301441665591 × 6371000     		do = 296.416185332705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.05557053--1.05547466) × cos(-1.06413495) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.48526076652245 × 6371000     		du = 296.391341452732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06408843)-sin(-1.06413495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.485301441665591-0.48526076652245)×R²
    abs(-1.05547466--1.05557053)×4.06751431403785e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.06751431403785e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.06751431403785e-05×40589641000000     		ar = 87847.8272939148m²