Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 21757 / 46863
↖ ↑ ↗
← S 60.970441°
W 60.485229°		 ← 296.39 m → S 60.970441°
W 60.479736°		 →
↑
296.38 m
↓
↑
296.38 m
↓
S 60.973107°
W 60.485229°		 ← 296.37 m →
87 840 m²		 S 60.973107°
W 60.479736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.331993103027344 y=0.715080261230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.331993103027344 × 216)
    floor (0.331993103027344 × 65536)
    floor (21757.5)     		tx = 21757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.715080261230469 × 216)
    floor (0.715080261230469 × 65536)
    floor (46863.5)     		ty = 46863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 21757 / 46863 ti = "16/21757/46863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/21757/46863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21757 ÷ 216
    21757 ÷ 65536     		x = 0.331985473632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46863 ÷ 216
    46863 ÷ 65536     		y = 0.715072631835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.331985473632812 × 2 - 1) × π
    -0.336029052734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.05566640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.715072631835938 × 2 - 1) × π
    -0.430145263671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.35134120028938
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.05566640} λ = -1.05566640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35134120028938))-π/2
    2×atan(0.258892800592141)-π/2
    2×0.253330687215036-π/2
    0.506661374430071-1.57079632675     		φ = -1.06413495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.05566640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.485229°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06413495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.970441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21757 KachelY 46863 -1.05566640 -1.06413495 -60.485229 -60.970441
    Oben rechts KachelX + 1 21758 KachelY 46863 -1.05557053 -1.06413495 -60.479736 -60.970441
    Unten links KachelX 21757 KachelY + 1 46864 -1.05566640 -1.06418147 -60.485229 -60.973107
    Unten rechts KachelX + 1 21758 KachelY + 1 46864 -1.05557053 -1.06418147 -60.479736 -60.973107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06413495--1.06418147) × R
    4.65200000001609e-05 × 6371000     		dl = 296.378920001025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06413495--1.06418147) × R
    4.65200000001609e-05 × 6371000     		dr = 296.378920001025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.05566640--1.05557053) × cos(-1.06413495) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.48526076652245 × 6371000     		do = 296.391341452732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.05566640--1.05557053) × cos(-1.06418147) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.485220090329152 × 6371000     		du = 296.366496931335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06413495)-sin(-1.06418147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.48526076652245-0.485220090329152)×R²
    abs(-1.05557053--1.05566640)×4.06761932983946e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.06761932983946e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.06761932983946e-05×40589641000000     		ar = 87840.4639971657m²