Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 21750 / 46870
↖ ↑ ↗
← S 60.989095°
W 60.523682°		 ← 296.22 m → S 60.989095°
W 60.518189°		 →
↑
296.25 m
↓
↑
296.25 m
↓
S 60.991760°
W 60.523682°		 ← 296.19 m →
87 751 m²		 S 60.991760°
W 60.518189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.331886291503906 y=0.715187072753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.331886291503906 × 216)
    floor (0.331886291503906 × 65536)
    floor (21750.5)     		tx = 21750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.715187072753906 × 216)
    floor (0.715187072753906 × 65536)
    floor (46870.5)     		ty = 46870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 21750 / 46870 ti = "16/21750/46870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/21750/46870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21750 ÷ 216
    21750 ÷ 65536     		x = 0.331878662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46870 ÷ 216
    46870 ÷ 65536     		y = 0.715179443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.331878662109375 × 2 - 1) × π
    -0.33624267578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.05633752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.715179443359375 × 2 - 1) × π
    -0.43035888671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.35201231688406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.05633752} λ = -1.05633752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35201231688406))-π/2
    2×atan(0.258719111626712)-π/2
    2×0.25316790170828-π/2
    0.50633580341656-1.57079632675     		φ = -1.06446052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.05633752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.523682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06446052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.989095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21750 KachelY 46870 -1.05633752 -1.06446052 -60.523682 -60.989095
    Oben rechts KachelX + 1 21751 KachelY 46870 -1.05624165 -1.06446052 -60.518189 -60.989095
    Unten links KachelX 21750 KachelY + 1 46871 -1.05633752 -1.06450702 -60.523682 -60.991760
    Unten rechts KachelX + 1 21751 KachelY + 1 46871 -1.05624165 -1.06450702 -60.518189 -60.991760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06446052--1.06450702) × R
    4.65000000000604e-05 × 6371000     		dl = 296.251500000385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06446052--1.06450702) × R
    4.65000000000604e-05 × 6371000     		dr = 296.251500000385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.05633752--1.05624165) × cos(-1.06446052) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.484976072337897 × 6371000     		do = 296.217453726616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.05633752--1.05624165) × cos(-1.06450702) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.484935406288537 × 6371000     		du = 296.192615401013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06446052)-sin(-1.06450702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.484976072337897-0.484935406288537)×R²
    abs(-1.05624165--1.05633752)×4.06660493598165e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.06660493598165e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.06660493598165e-05×40589641000000     		ar = 87751.1858129876m²