Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 21749 / 46849
↖ ↑ ↗
← S 60.933101°
W 60.529175°		 ← 296.74 m → S 60.933101°
W 60.523682°		 →
↑
296.70 m
↓
↑
296.70 m
↓
S 60.935770°
W 60.529175°		 ← 296.71 m →
88 038 m²		 S 60.935770°
W 60.523682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.331871032714844 y=0.714866638183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.331871032714844 × 216)
    floor (0.331871032714844 × 65536)
    floor (21749.5)     		tx = 21749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.714866638183594 × 216)
    floor (0.714866638183594 × 65536)
    floor (46849.5)     		ty = 46849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 21749 / 46849 ti = "16/21749/46849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/21749/46849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21749 ÷ 216
    21749 ÷ 65536     		x = 0.331863403320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46849 ÷ 216
    46849 ÷ 65536     		y = 0.714859008789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.331863403320312 × 2 - 1) × π
    -0.336273193359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.05643339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.714859008789062 × 2 - 1) × π
    -0.429718017578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.34999896710002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.05643339} λ = -1.05643339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.34999896710002))-π/2
    2×atan(0.259240528415289)-π/2
    2×0.253656544920923-π/2
    0.507313089841845-1.57079632675     		φ = -1.06348324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.05643339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.529175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06348324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.933101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21749 KachelY 46849 -1.05643339 -1.06348324 -60.529175 -60.933101
    Oben rechts KachelX + 1 21750 KachelY 46849 -1.05633752 -1.06348324 -60.523682 -60.933101
    Unten links KachelX 21749 KachelY + 1 46850 -1.05643339 -1.06352981 -60.529175 -60.935770
    Unten rechts KachelX + 1 21750 KachelY + 1 46850 -1.05633752 -1.06352981 -60.523682 -60.935770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06348324--1.06352981) × R
    4.6569999999857e-05 × 6371000     		dl = 296.697469999089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06348324--1.06352981) × R
    4.6569999999857e-05 × 6371000     		dr = 296.697469999089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.05643339--1.05633752) × cos(-1.06348324) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.485830498764856 × 6371000     		do = 296.739326938568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.05643339--1.05633752) × cos(-1.06352981) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.485789793587712 × 6371000     		du = 296.714464714193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06348324)-sin(-1.06352981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.485830498764856-0.485789793587712)×R²
    abs(-1.05633752--1.05643339)×4.07051771434408e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.07051771434408e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.07051771434408e-05×40589641000000     		ar = 88038.1192880869m²