Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 21748 / 46848
↖ ↑ ↗
← S 60.930432°
W 60.534668°		 ← 296.80 m → S 60.930432°
W 60.529175°		 →
↑
296.76 m
↓
↑
296.76 m
↓
S 60.933101°
W 60.534668°		 ← 296.77 m →
88 074 m²		 S 60.933101°
W 60.529175°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.331855773925781 y=0.714851379394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.331855773925781 × 216)
    floor (0.331855773925781 × 65536)
    floor (21748.5)     		tx = 21748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.714851379394531 × 216)
    floor (0.714851379394531 × 65536)
    floor (46848.5)     		ty = 46848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 21748 / 46848 ti = "16/21748/46848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/21748/46848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21748 ÷ 216
    21748 ÷ 65536     		x = 0.33184814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46848 ÷ 216
    46848 ÷ 65536     		y = 0.71484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33184814453125 × 2 - 1) × π
    -0.3363037109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.05652927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71484375 × 2 - 1) × π
    -0.4296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.34990309330078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.05652927} λ = -1.05652927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.34990309330078))-π/2
    2×atan(0.259265383981145)-π/2
    2×0.253679835104725-π/2
    0.507359670209449-1.57079632675     		φ = -1.06343666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.05652927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.534668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06343666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.930432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21748 KachelY 46848 -1.05652927 -1.06343666 -60.534668 -60.930432
    Oben rechts KachelX + 1 21749 KachelY 46848 -1.05643339 -1.06343666 -60.529175 -60.930432
    Unten links KachelX 21748 KachelY + 1 46849 -1.05652927 -1.06348324 -60.534668 -60.933101
    Unten rechts KachelX + 1 21749 KachelY + 1 46849 -1.05643339 -1.06348324 -60.529175 -60.933101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06343666--1.06348324) × R
    4.65800000000183e-05 × 6371000     		dl = 296.761180000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06343666--1.06348324) × R
    4.65800000000183e-05 × 6371000     		dr = 296.761180000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.05652927--1.05643339) × cos(-1.06343666) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.485871211628651 × 6371000     		do = 296.79514871256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.05652927--1.05643339) × cos(-1.06348324) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.485830498764856 × 6371000     		du = 296.770279199456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06343666)-sin(-1.06348324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.485871211628651-0.485830498764856)×R²
    abs(-1.05643339--1.05652927)×4.07128637955889e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.07128637955889e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.07128637955889e-05×40589641000000     		ar = 88073.5884131355m²