Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 21732 / 46900
↖ ↑ ↗
← S 61.068916°
W 60.622559°		 ← 295.50 m → S 61.068916°
W 60.617065°		 →
↑
295.49 m
↓
↑
295.49 m
↓
S 61.071574°
W 60.622559°		 ← 295.48 m →
87 314 m²		 S 61.071574°
W 60.617065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.331611633300781 y=0.715644836425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.331611633300781 × 216)
    floor (0.331611633300781 × 65536)
    floor (21732.5)     		tx = 21732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.715644836425781 × 216)
    floor (0.715644836425781 × 65536)
    floor (46900.5)     		ty = 46900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 21732 / 46900 ti = "16/21732/46900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/21732/46900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21732 ÷ 216
    21732 ÷ 65536     		x = 0.33160400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46900 ÷ 216
    46900 ÷ 65536     		y = 0.71563720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33160400390625 × 2 - 1) × π
    -0.3367919921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.05806325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71563720703125 × 2 - 1) × π
    -0.4312744140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.35488853086127
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.05806325} λ = -1.05806325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35488853086127))-π/2
    2×atan(0.257976049217181)-π/2
    2×0.252471330878657-π/2
    0.504942661757314-1.57079632675     		φ = -1.06585366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.05806325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.622559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06585366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.068916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21732 KachelY 46900 -1.05806325 -1.06585366 -60.622559 -61.068916
    Oben rechts KachelX + 1 21733 KachelY 46900 -1.05796737 -1.06585366 -60.617065 -61.068916
    Unten links KachelX 21732 KachelY + 1 46901 -1.05806325 -1.06590004 -60.622559 -61.071574
    Unten rechts KachelX + 1 21733 KachelY + 1 46901 -1.05796737 -1.06590004 -60.617065 -61.071574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06585366--1.06590004) × R
    4.63800000001235e-05 × 6371000     		dl = 295.486980000787m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06585366--1.06590004) × R
    4.63800000001235e-05 × 6371000     		dr = 295.486980000787m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.05806325--1.05796737) × cos(-1.06585366) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.483757262971183 × 6371000     		do = 295.503840046503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.05806325--1.05796737) × cos(-1.06590004) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.483716670572335 × 6371000     		du = 295.47904411959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06585366)-sin(-1.06590004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.483757262971183-0.483716670572335)×R²
    abs(-1.05796737--1.05806325)×4.05923988480716e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.05923988480716e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.05923988480716e-05×40589641000000     		ar = 87313.8738528727m²