Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21732 / 13414
↖ ↑ ↗
← N 80.601396°
W120.311279°		 ← 49.88 m → N 80.601396°
W120.308532°		 →
↑
49.88 m
↓
↑
49.88 m
↓
N 80.600947°
W120.311279°		 ← 49.88 m →
2 488 m²		 N 80.600947°
W120.308532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165805816650391 y=0.102344512939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165805816650391 × 217)
    floor (0.165805816650391 × 131072)
    floor (21732.5)     		tx = 21732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102344512939453 × 217)
    floor (0.102344512939453 × 131072)
    floor (13414.5)     		ty = 13414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21732 / 13414 ti = "17/21732/13414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21732/13414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21732 ÷ 217
    21732 ÷ 131072     		x = 0.165802001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13414 ÷ 217
    13414 ÷ 131072     		y = 0.102340698242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.165802001953125 × 2 - 1) × π
    -0.66839599609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.09982795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102340698242188 × 2 - 1) × π
    0.795318603515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.49856708199657
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09982795} λ = -2.09982795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49856708199657))-π/2
    2×atan(12.1650499466861)-π/2
    2×1.48877803138943-π/2
    2.97755606277886-1.57079632675     		φ = 1.40675974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09982795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.311279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40675974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.601396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21732 KachelY 13414 -2.09982795 1.40675974 -120.311279 80.601396
    Oben rechts KachelX + 1 21733 KachelY 13414 -2.09978001 1.40675974 -120.308532 80.601396
    Unten links KachelX 21732 KachelY + 1 13415 -2.09982795 1.40675191 -120.311279 80.600947
    Unten rechts KachelX + 1 21733 KachelY + 1 13415 -2.09978001 1.40675191 -120.308532 80.600947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40675974-1.40675191) × R
    7.82999999993095e-06 × 6371000     		dl = 49.8849299995601m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40675974-1.40675191) × R
    7.82999999993095e-06 × 6371000     		dr = 49.8849299995601m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09982795--2.09978001) × cos(1.40675974) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163301926441567 × 6371000     		do = 49.8766117268086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09982795--2.09978001) × cos(1.40675191) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163309651327741 × 6371000     		du = 49.8789711058845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40675974)-sin(1.40675191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163301926441567-0.163309651327741)×R²
    abs(-2.09978001--2.09982795)×7.7248861733159e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.7248861733159e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.7248861733159e-06×40589641000000     		ar = 2488.15013337963m²