Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2172 / 1452
↖ ↑ ↗
← N 75.004940°
W 84.550781°		 ← 1 264.31 m → N 75.004940°
W 84.506836°		 →
↑
1 264.77 m
↓
↑
1 264.77 m
↓
N 74.993566°
W 84.550781°		 ← 1 265.25 m →
1 599 656 m²		 N 74.993566°
W 84.506836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.26519775390625 y=0.17730712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.26519775390625 × 213)
    floor (0.26519775390625 × 8192)
    floor (2172.5)     		tx = 2172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.17730712890625 × 213)
    floor (0.17730712890625 × 8192)
    floor (1452.5)     		ty = 1452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2172 / 1452 ti = "13/2172/1452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2172/1452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2172 ÷ 213
    2172 ÷ 8192     		x = 0.26513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1452 ÷ 213
    1452 ÷ 8192     		y = 0.17724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26513671875 × 2 - 1) × π
    -0.4697265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.47568952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17724609375 × 2 - 1) × π
    0.6455078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.02792260152686
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47568952} λ = -1.47568952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.02792260152686))-π/2
    2×atan(7.59828528564903)-π/2
    2×1.43993974258733-π/2
    2.87987948517465-1.57079632675     		φ = 1.30908316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47568952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.550781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30908316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.004940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2172 KachelY 1452 -1.47568952 1.30908316 -84.550781 75.004940
    Oben rechts KachelX + 1 2173 KachelY 1452 -1.47492253 1.30908316 -84.506836 75.004940
    Unten links KachelX 2172 KachelY + 1 1453 -1.47568952 1.30888464 -84.550781 74.993566
    Unten rechts KachelX + 1 2173 KachelY + 1 1453 -1.47492253 1.30888464 -84.506836 74.993566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30908316-1.30888464) × R
    0.000198519999999869 × 6371000     		dl = 1264.77091999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30908316-1.30888464) × R
    0.000198519999999869 × 6371000     		dr = 1264.77091999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47568952--1.47492253) × cos(1.30908316) × R
    0.000766990000000023 × 0.258735761045809 × 6371000     		do = 1264.31056023343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47568952--1.47492253) × cos(1.30888464) × R
    0.000766990000000023 × 0.258927515970559 × 6371000     		du = 1265.24756938654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30908316)-sin(1.30888464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.258735761045809-0.258927515970559)×R²
    abs(-1.47492253--1.47568952)×0.000191754924750098×R²
    0.000766990000000023×0.000191754924750098×6371000²
    0.000766990000000023×0.000191754924750098×40589641000000     		ar = 1599655.78664843m²