Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2171 / 2264
↖ ↑ ↗
← S 18.646245°
E 10.810547°		 ← 9 260.01 m → S 18.646245°
E 10.898438°		 →
↑
9 257.76 m
↓
↑
9 257.76 m
↓
S 18.729502°
E 10.810547°		 ← 9 255.46 m →
85 705 928 m²		 S 18.729502°
E 10.898438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5301513671875 y=0.5528564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5301513671875 × 212)
    floor (0.5301513671875 × 4096)
    floor (2171.5)     		tx = 2171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5528564453125 × 212)
    floor (0.5528564453125 × 4096)
    floor (2264.5)     		ty = 2264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2171 / 2264 ti = "12/2171/2264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2171/2264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2171 ÷ 212
    2171 ÷ 4096     		x = 0.530029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2264 ÷ 212
    2264 ÷ 4096     		y = 0.552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.530029296875 × 2 - 1) × π
    0.06005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.18867964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552734375 × 2 - 1) × π
    -0.10546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.331339850173828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18867964} λ = 0.18867964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.331339850173828))-π/2
    2×atan(0.71796112836001)-π/2
    2×0.622678977965134-π/2
    1.24535795593027-1.57079632675     		φ = -0.32543837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18867964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.810547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32543837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.646245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2171 KachelY 2264 0.18867964 -0.32543837 10.810547 -18.646245
    Oben rechts KachelX + 1 2172 KachelY 2264 0.19021362 -0.32543837 10.898438 -18.646245
    Unten links KachelX 2171 KachelY + 1 2265 0.18867964 -0.32689148 10.810547 -18.729502
    Unten rechts KachelX + 1 2172 KachelY + 1 2265 0.19021362 -0.32689148 10.898438 -18.729502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32543837--0.32689148) × R
    0.00145311000000004 × 6371000     		dl = 9257.76381000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32543837--0.32689148) × R
    0.00145311000000004 × 6371000     		dr = 9257.76381000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18867964-0.19021362) × cos(-0.32543837) × R
    0.00153397999999999 × 0.94751065997265 × 6371000     		do = 9260.00896431959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18867964-0.19021362) × cos(-0.32689148) × R
    0.00153397999999999 × 0.947045065389796 × 6371000     		du = 9255.45871470964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32543837)-sin(-0.32689148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94751065997265-0.947045065389796)×R²
    abs(0.19021362-0.18867964)×0.000465594582853557×R²
    0.00153397999999999×0.000465594582853557×6371000²
    0.00153397999999999×0.000465594582853557×40589641000000     		ar = 85705928.3829492m²