Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21702 / 9350
↖ ↑ ↗
← N 82.259480°
W120.393677°		 ← 41.14 m → N 82.259480°
W120.390930°		 →
↑
41.16 m
↓
↑
41.16 m
↓
N 82.259109°
W120.393677°		 ← 41.14 m →
1 693 m²		 N 82.259109°
W120.390930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165576934814453 y=0.0713386535644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165576934814453 × 217)
    floor (0.165576934814453 × 131072)
    floor (21702.5)     		tx = 21702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0713386535644531 × 217)
    floor (0.0713386535644531 × 131072)
    floor (9350.5)     		ty = 9350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21702 / 9350 ti = "17/21702/9350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21702/9350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21702 ÷ 217
    21702 ÷ 131072     		x = 0.165573120117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9350 ÷ 217
    9350 ÷ 131072     		y = 0.0713348388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.165573120117188 × 2 - 1) × π
    -0.668853759765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.10126606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0713348388671875 × 2 - 1) × π
    0.857330322265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.69338264205247
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10126606} λ = -2.10126606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69338264205247))-π/2
    2×atan(14.7815922839132)-π/2
    2×1.50324754234246-π/2
    3.00649508468493-1.57079632675     		φ = 1.43569876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10126606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.393677°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43569876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.259480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21702 KachelY 9350 -2.10126606 1.43569876 -120.393677 82.259480
    Oben rechts KachelX + 1 21703 KachelY 9350 -2.10121812 1.43569876 -120.390930 82.259480
    Unten links KachelX 21702 KachelY + 1 9351 -2.10126606 1.43569230 -120.393677 82.259109
    Unten rechts KachelX + 1 21703 KachelY + 1 9351 -2.10121812 1.43569230 -120.390930 82.259109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43569876-1.43569230) × R
    6.46000000004143e-06 × 6371000     		dl = 41.156660000264m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43569876-1.43569230) × R
    6.46000000004143e-06 × 6371000     		dr = 41.156660000264m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10126606--2.10121812) × cos(1.43569876) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.134686989433538 × 6371000     		do = 41.1368734160835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10126606--2.10121812) × cos(1.43569230) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.134693390568467 × 6371000     		du = 41.1388284874561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43569876)-sin(1.43569230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134686989433538-0.134693390568467)×R²
    abs(-2.10121812--2.10126606)×6.40113492897387e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.40113492897387e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.40113492897387e-06×40589641000000     		ar = 1693.09654468207m²