Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 21701 / 8645
↖ ↑ ↗
← N 82.515960°
W120.396423°		 ← 39.77 m → N 82.515960°
W120.393677°		 →
↑
39.82 m
↓
↑
39.82 m
↓
N 82.515602°
W120.396423°		 ← 39.78 m →
1 584 m²		 N 82.515602°
W120.393677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165569305419922 y=0.0659599304199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165569305419922 × 217)
    floor (0.165569305419922 × 131072)
    floor (21701.5)     		tx = 21701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0659599304199219 × 217)
    floor (0.0659599304199219 × 131072)
    floor (8645.5)     		ty = 8645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21701 / 8645 ti = "17/21701/8645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21701/8645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21701 ÷ 217
    21701 ÷ 131072     		x = 0.165565490722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8645 ÷ 217
    8645 ÷ 131072     		y = 0.0659561157226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.165565490722656 × 2 - 1) × π
    -0.668869018554688 × 3.1415926535     		Λ = -2.10131399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0659561157226562 × 2 - 1) × π
    0.868087768554688 × 3.1415926535     		Φ = 2.72717815628461
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10131399} λ = -2.10131399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.72717815628461))-π/2
    2×atan(15.2896809980221)-π/2
    2×1.50548575738822-π/2
    3.01097151477645-1.57079632675     		φ = 1.44017519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10131399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.396423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44017519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.515960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21701 KachelY 8645 -2.10131399 1.44017519 -120.396423 82.515960
    Oben rechts KachelX + 1 21702 KachelY 8645 -2.10126606 1.44017519 -120.393677 82.515960
    Unten links KachelX 21701 KachelY + 1 8646 -2.10131399 1.44016894 -120.396423 82.515602
    Unten rechts KachelX + 1 21702 KachelY + 1 8646 -2.10126606 1.44016894 -120.393677 82.515602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44017519-1.44016894) × R
    6.24999999998543e-06 × 6371000     		dl = 39.8187499999072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44017519-1.44016894) × R
    6.24999999998543e-06 × 6371000     		dr = 39.8187499999072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10131399--2.10126606) × cos(1.44017519) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.130250013149562 × 6371000     		do = 39.7734084229014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10131399--2.10126606) × cos(1.44016894) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.130256209904405 × 6371000     		du = 39.7753006765397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44017519)-sin(1.44016894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.130250013149562-0.130256209904405)×R²
    abs(-2.10126606--2.10131399)×6.19675484292426e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.19675484292426e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.19675484292426e-06×40589641000000     		ar = 1583.7650802894m²