Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21700 / 9149
↖ ↑ ↗
← N 82.333481°
W120.399170°		 ← 40.75 m → N 82.333481°
W120.396423°		 →
↑
40.71 m
↓
↑
40.71 m
↓
N 82.333115°
W120.399170°		 ← 40.75 m →
1 659 m²		 N 82.333115°
W120.396423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165561676025391 y=0.0698051452636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165561676025391 × 217)
    floor (0.165561676025391 × 131072)
    floor (21700.5)     		tx = 21700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0698051452636719 × 217)
    floor (0.0698051452636719 × 131072)
    floor (9149.5)     		ty = 9149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21700 / 9149 ti = "17/21700/9149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21700/9149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21700 ÷ 217
    21700 ÷ 131072     		x = 0.165557861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9149 ÷ 217
    9149 ÷ 131072     		y = 0.0698013305664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.165557861328125 × 2 - 1) × π
    -0.66888427734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.10136193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0698013305664062 × 2 - 1) × π
    0.860397338867188 × 3.1415926535     		Φ = 2.70301795887611
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10136193} λ = -2.10136193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.70301795887611))-π/2
    2×atan(14.924705974388)-π/2
    2×1.5038933303363-π/2
    3.0077866606726-1.57079632675     		φ = 1.43699033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10136193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.399170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43699033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.333481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21700 KachelY 9149 -2.10136193 1.43699033 -120.399170 82.333481
    Oben rechts KachelX + 1 21701 KachelY 9149 -2.10131399 1.43699033 -120.396423 82.333481
    Unten links KachelX 21700 KachelY + 1 9150 -2.10136193 1.43698394 -120.399170 82.333115
    Unten rechts KachelX + 1 21701 KachelY + 1 9150 -2.10131399 1.43698394 -120.396423 82.333115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43699033-1.43698394) × R
    6.39000000002277e-06 × 6371000     		dl = 40.710690000145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43699033-1.43698394) × R
    6.39000000002277e-06 × 6371000     		dr = 40.710690000145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10136193--2.10131399) × cos(1.43699033) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.133407075984171 × 6371000     		do = 40.7459549036751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10136193--2.10131399) × cos(1.43698394) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.133413408863321 × 6371000     		du = 40.7478891279758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43699033)-sin(1.43698394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133407075984171-0.133413408863321)×R²
    abs(-2.10131399--2.10136193)×6.33287915005609e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.33287915005609e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.33287915005609e-06×40589641000000     		ar = 1658.83531066288m²