Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2170 / 1581
↖ ↑ ↗
← N 80.938813°
W132.319336°		 ← 384.79 m → N 80.938813°
W132.297363°		 →
↑
384.87 m
↓
↑
384.87 m
↓
N 80.935352°
W132.319336°		 ← 384.94 m →
148 123 m²		 N 80.935352°
W132.297363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.132476806640625 y=0.096527099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.132476806640625 × 214)
    floor (0.132476806640625 × 16384)
    floor (2170.5)     		tx = 2170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.096527099609375 × 214)
    floor (0.096527099609375 × 16384)
    floor (1581.5)     		ty = 1581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2170 / 1581 ti = "14/2170/1581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2170/1581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2170 ÷ 214
    2170 ÷ 16384     		x = 0.1324462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1581 ÷ 214
    1581 ÷ 16384     		y = 0.09649658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1324462890625 × 2 - 1) × π
    -0.735107421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.30940808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09649658203125 × 2 - 1) × π
    0.8070068359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.53528674710553
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.30940808} λ = -2.30940808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53528674710553))-π/2
    2×atan(12.6200490918004)-π/2
    2×1.49172255276688-π/2
    2.98344510553375-1.57079632675     		φ = 1.41264878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.30940808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.319336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41264878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.938813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2170 KachelY 1581 -2.30940808 1.41264878 -132.319336 80.938813
    Oben rechts KachelX + 1 2171 KachelY 1581 -2.30902458 1.41264878 -132.297363 80.938813
    Unten links KachelX 2170 KachelY + 1 1582 -2.30940808 1.41258837 -132.319336 80.935352
    Unten rechts KachelX + 1 2171 KachelY + 1 1582 -2.30902458 1.41258837 -132.297363 80.935352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41264878-1.41258837) × R
    6.04100000001218e-05 × 6371000     		dl = 384.872110000776m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41264878-1.41258837) × R
    6.04100000001218e-05 × 6371000     		dr = 384.872110000776m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.30940808--2.30902458) × cos(1.41264878) × R
    0.00038349999999987 × 0.157489141958196 × 6371000     		do = 384.789834529779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.30940808--2.30902458) × cos(1.41258837) × R
    0.00038349999999987 × 0.157548797797418 × 6371000     		du = 384.935590359149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41264878)-sin(1.41258837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157489141958196-0.157548797797418)×R²
    abs(-2.30902458--2.30940808)×5.96558392218782e-05×R²
    0.00038349999999987×5.96558392218782e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.96558392218782e-05×40589641000000     		ar = 148122.924245183m²