Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2170 / 1578
↖ ↑ ↗
← N 80.949188°
W132.319336°		 ← 384.35 m → N 80.949188°
W132.297363°		 →
↑
384.36 m
↓
↑
384.36 m
↓
N 80.945731°
W132.319336°		 ← 384.50 m →
147 759 m²		 N 80.945731°
W132.297363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.132476806640625 y=0.096343994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.132476806640625 × 214)
    floor (0.132476806640625 × 16384)
    floor (2170.5)     		tx = 2170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.096343994140625 × 214)
    floor (0.096343994140625 × 16384)
    floor (1578.5)     		ty = 1578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2170 / 1578 ti = "14/2170/1578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2170/1578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2170 ÷ 214
    2170 ÷ 16384     		x = 0.1324462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1578 ÷ 214
    1578 ÷ 16384     		y = 0.0963134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1324462890625 × 2 - 1) × π
    -0.735107421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.30940808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0963134765625 × 2 - 1) × π
    0.807373046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.53643723269641
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.30940808} λ = -2.30940808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53643723269641))-π/2
    2×atan(12.6345766316969)-π/2
    2×1.49181309581737-π/2
    2.98362619163473-1.57079632675     		φ = 1.41282986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.30940808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.319336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41282986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.949188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2170 KachelY 1578 -2.30940808 1.41282986 -132.319336 80.949188
    Oben rechts KachelX + 1 2171 KachelY 1578 -2.30902458 1.41282986 -132.297363 80.949188
    Unten links KachelX 2170 KachelY + 1 1579 -2.30940808 1.41276953 -132.319336 80.945731
    Unten rechts KachelX + 1 2171 KachelY + 1 1579 -2.30902458 1.41276953 -132.297363 80.945731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41282986-1.41276953) × R
    6.03299999999418e-05 × 6371000     		dl = 384.362429999629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41282986-1.41276953) × R
    6.03299999999418e-05 × 6371000     		dr = 384.362429999629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.30940808--2.30902458) × cos(1.41282986) × R
    0.00038349999999987 × 0.157310319125372 × 6371000     		do = 384.35292054703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.30940808--2.30902458) × cos(1.41276953) × R
    0.00038349999999987 × 0.157369897683544 × 6371000     		du = 384.498487557274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41282986)-sin(1.41276953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157310319125372-0.157369897683544)×R²
    abs(-2.30902458--2.30940808)×5.95785581725961e-05×R²
    0.00038349999999987×5.95785581725961e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.95785581725961e-05×40589641000000     		ar = 147758.797808786m²