Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 21699 / 9145
↖ ↑ ↗
← N 82.334947°
W120.401917°		 ← 40.74 m → N 82.334947°
W120.399170°		 →
↑
40.71 m
↓
↑
40.71 m
↓
N 82.334581°
W120.401917°		 ← 40.74 m →
1 659 m²		 N 82.334581°
W120.399170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165554046630859 y=0.0697746276855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165554046630859 × 217)
    floor (0.165554046630859 × 131072)
    floor (21699.5)     		tx = 21699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0697746276855469 × 217)
    floor (0.0697746276855469 × 131072)
    floor (9145.5)     		ty = 9145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21699 / 9145 ti = "17/21699/9145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21699/9145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21699 ÷ 217
    21699 ÷ 131072     		x = 0.165550231933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9145 ÷ 217
    9145 ÷ 131072     		y = 0.0697708129882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.165550231933594 × 2 - 1) × π
    -0.668899536132812 × 3.1415926535     		Λ = -2.10140987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0697708129882812 × 2 - 1) × π
    0.860458374023438 × 3.1415926535     		Φ = 2.70320970647459
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10140987} λ = -2.10140987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.70320970647459))-π/2
    2×atan(14.9275680253036)-π/2
    2×1.50390611936394-π/2
    3.00781223872787-1.57079632675     		φ = 1.43701591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10140987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.401917°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43701591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.334947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21699 KachelY 9145 -2.10140987 1.43701591 -120.401917 82.334947
    Oben rechts KachelX + 1 21700 KachelY 9145 -2.10136193 1.43701591 -120.399170 82.334947
    Unten links KachelX 21699 KachelY + 1 9146 -2.10140987 1.43700952 -120.401917 82.334581
    Unten rechts KachelX + 1 21700 KachelY + 1 9146 -2.10136193 1.43700952 -120.399170 82.334581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43701591-1.43700952) × R
    6.39000000002277e-06 × 6371000     		dl = 40.710690000145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43701591-1.43700952) × R
    6.39000000002277e-06 × 6371000     		dr = 40.710690000145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10140987--2.10136193) × cos(1.43701591) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.133381724591806 × 6371000     		do = 40.7382119359019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10140987--2.10136193) × cos(1.43700952) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.133388057492761 × 6371000     		du = 40.7401461668623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43701591)-sin(1.43700952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133381724591806-0.133388057492761)×R²
    abs(-2.10136193--2.10140987)×6.33290095472527e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.33290095472527e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.33290095472527e-06×40589641000000     		ar = 1658.52008927956m²