Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21698 / 9144
↖ ↑ ↗
← N 82.335313°
W120.404663°		 ← 40.74 m → N 82.335313°
W120.401917°		 →
↑
40.77 m
↓
↑
40.77 m
↓
N 82.334947°
W120.404663°		 ← 40.74 m →
1 661 m²		 N 82.334947°
W120.401917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165546417236328 y=0.0697669982910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165546417236328 × 217)
    floor (0.165546417236328 × 131072)
    floor (21698.5)     		tx = 21698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0697669982910156 × 217)
    floor (0.0697669982910156 × 131072)
    floor (9144.5)     		ty = 9144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21698 / 9144 ti = "17/21698/9144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21698/9144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21698 ÷ 217
    21698 ÷ 131072     		x = 0.165542602539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9144 ÷ 217
    9144 ÷ 131072     		y = 0.06976318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.165542602539062 × 2 - 1) × π
    -0.668914794921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.10145781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06976318359375 × 2 - 1) × π
    0.8604736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.70325764337421
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10145781} λ = -2.10145781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.70325764337421))-π/2
    2×atan(14.9282836237852)-π/2
    2×1.50390931624112-π/2
    3.00781863248225-1.57079632675     		φ = 1.43702231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10145781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.404663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43702231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.335313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21698 KachelY 9144 -2.10145781 1.43702231 -120.404663 82.335313
    Oben rechts KachelX + 1 21699 KachelY 9144 -2.10140987 1.43702231 -120.401917 82.335313
    Unten links KachelX 21698 KachelY + 1 9145 -2.10145781 1.43701591 -120.404663 82.334947
    Unten rechts KachelX + 1 21699 KachelY + 1 9145 -2.10140987 1.43701591 -120.401917 82.334947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43702231-1.43701591) × R
    6.39999999996199e-06 × 6371000     		dl = 40.7743999997578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43702231-1.43701591) × R
    6.39999999996199e-06 × 6371000     		dr = 40.7743999997578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10145781--2.10140987) × cos(1.43702231) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.133375381774749 × 6371000     		do = 40.7362746763086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10145781--2.10140987) × cos(1.43701591) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.133381724591806 × 6371000     		du = 40.7382119359019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43702231)-sin(1.43701591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133375381774749-0.133381724591806)×R²
    abs(-2.10140987--2.10145781)×6.34281705683137e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.34281705683137e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.34281705683137e-06×40589641000000     		ar = 1661.03665347829m²