Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2168 / 632
↖ ↑ ↗
← N 81.972431°
W 84.726563°		 ← 682.40 m → N 81.972431°
W 84.682617°		 →
↑
682.65 m
↓
↑
682.65 m
↓
N 81.966292°
W 84.726563°		 ← 682.92 m →
466 017 m²		 N 81.966292°
W 84.682617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.26470947265625 y=0.07720947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.26470947265625 × 213)
    floor (0.26470947265625 × 8192)
    floor (2168.5)     		tx = 2168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.07720947265625 × 213)
    floor (0.07720947265625 × 8192)
    floor (632.5)     		ty = 632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2168 / 632 ti = "13/2168/632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2168/632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2168 ÷ 213
    2168 ÷ 8192     		x = 0.2646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 632 ÷ 213
    632 ÷ 8192     		y = 0.0771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2646484375 × 2 - 1) × π
    -0.470703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.47875748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0771484375 × 2 - 1) × π
    0.845703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.65685472454199
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47875748} λ = -1.47875748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.65685472454199))-π/2
    2×atan(14.251393972216)-π/2
    2×1.50074257459582-π/2
    3.00148514919164-1.57079632675     		φ = 1.43068882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47875748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.726563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43068882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.972431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2168 KachelY 632 -1.47875748 1.43068882 -84.726563 81.972431
    Oben rechts KachelX + 1 2169 KachelY 632 -1.47799049 1.43068882 -84.682617 81.972431
    Unten links KachelX 2168 KachelY + 1 633 -1.47875748 1.43058167 -84.726563 81.966292
    Unten rechts KachelX + 1 2169 KachelY + 1 633 -1.47799049 1.43058167 -84.682617 81.966292
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43068882-1.43058167) × R
    0.000107150000000056 × 6371000     		dl = 682.652650000356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43068882-1.43058167) × R
    0.000107150000000056 × 6371000     		dr = 682.652650000356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47875748--1.47799049) × cos(1.43068882) × R
    0.000766990000000023 × 0.13964956878564 × 6371000     		do = 682.396680822444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47875748--1.47799049) × cos(1.43058167) × R
    0.000766990000000023 × 0.139755668019705 × 6371000     		du = 682.915134017775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43068882)-sin(1.43058167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.13964956878564-0.139755668019705)×R²
    abs(-1.47799049--1.47875748)×0.000106099234064766×R²
    0.000766990000000023×0.000106099234064766×6371000²
    0.000766990000000023×0.000106099234064766×40589641000000     		ar = 466016.864685122m²