Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2168 / 1576
↖ ↑ ↗
← N 80.956099°
W132.363281°		 ← 384.06 m → N 80.956099°
W132.341309°		 →
↑
384.11 m
↓
↑
384.11 m
↓
N 80.952644°
W132.363281°		 ← 384.21 m →
147 549 m²		 N 80.952644°
W132.341309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.132354736328125 y=0.096221923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.132354736328125 × 214)
    floor (0.132354736328125 × 16384)
    floor (2168.5)     		tx = 2168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.096221923828125 × 214)
    floor (0.096221923828125 × 16384)
    floor (1576.5)     		ty = 1576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2168 / 1576 ti = "14/2168/1576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2168/1576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2168 ÷ 214
    2168 ÷ 16384     		x = 0.13232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1576 ÷ 214
    1576 ÷ 16384     		y = 0.09619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13232421875 × 2 - 1) × π
    -0.7353515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.31017507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09619140625 × 2 - 1) × π
    0.8076171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.53720422309033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31017507} λ = -2.31017507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53720422309033))-π/2
    2×atan(12.6442709478532)-π/2
    2×1.49187340072562-π/2
    2.98374680145124-1.57079632675     		φ = 1.41295047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31017507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.363281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41295047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.956099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2168 KachelY 1576 -2.31017507 1.41295047 -132.363281 80.956099
    Oben rechts KachelX + 1 2169 KachelY 1576 -2.30979157 1.41295047 -132.341309 80.956099
    Unten links KachelX 2168 KachelY + 1 1577 -2.31017507 1.41289018 -132.363281 80.952644
    Unten rechts KachelX + 1 2169 KachelY + 1 1577 -2.30979157 1.41289018 -132.341309 80.952644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41295047-1.41289018) × R
    6.02899999999629e-05 × 6371000     		dl = 384.107589999763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41295047-1.41289018) × R
    6.02899999999629e-05 × 6371000     		dr = 384.107589999763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31017507--2.30979157) × cos(1.41295047) × R
    0.000383500000000314 × 0.157191209669962 × 6371000     		do = 384.061902975924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31017507--2.30979157) × cos(1.41289018) × R
    0.000383500000000314 × 0.157250749870223 × 6371000     		du = 384.207376267107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41295047)-sin(1.41289018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157191209669962-0.157250749870223)×R²
    abs(-2.30979157--2.31017507)×5.95402002608603e-05×R²
    0.000383500000000314×5.95402002608603e-05×6371000²
    0.000383500000000314×5.95402002608603e-05×40589641000000     		ar = 147549.030704581m²