Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21675 / 9292
↖ ↑ ↗
← N 82.280906°
W120.467834°		 ← 41.02 m → N 82.280906°
W120.465088°		 →
↑
41.03 m
↓
↑
41.03 m
↓
N 82.280537°
W120.467834°		 ← 41.02 m →
1 683 m²		 N 82.280537°
W120.465088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21675 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165370941162109 y=0.0708961486816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165370941162109 × 217)
    floor (0.165370941162109 × 131072)
    floor (21675.5)     		tx = 21675
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0708961486816406 × 217)
    floor (0.0708961486816406 × 131072)
    floor (9292.5)     		ty = 9292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21675 / 9292 ti = "17/21675/9292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21675/9292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21675 ÷ 217
    21675 ÷ 131072     		x = 0.165367126464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9292 ÷ 217
    9292 ÷ 131072     		y = 0.070892333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.165367126464844 × 2 - 1) × π
    -0.669265747070312 × 3.1415926535     		Λ = -2.10256035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.070892333984375 × 2 - 1) × π
    0.85821533203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.69616298223044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10256035} λ = -2.10256035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69616298223044))-π/2
    2×atan(14.8227473248297)-π/2
    2×1.5034345224811-π/2
    3.00686904496219-1.57079632675     		φ = 1.43607272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10256035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.467834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43607272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.280906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21675 KachelY 9292 -2.10256035 1.43607272 -120.467834 82.280906
    Oben rechts KachelX + 1 21676 KachelY 9292 -2.10251242 1.43607272 -120.465088 82.280906
    Unten links KachelX 21675 KachelY + 1 9293 -2.10256035 1.43606628 -120.467834 82.280537
    Unten rechts KachelX + 1 21676 KachelY + 1 9293 -2.10251242 1.43606628 -120.465088 82.280537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43607272-1.43606628) × R
    6.44000000016298e-06 × 6371000     		dl = 41.0292400010384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43607272-1.43606628) × R
    6.44000000016298e-06 × 6371000     		dr = 41.0292400010384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10256035--2.10251242) × cos(1.43607272) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.13431642747507 × 6371000     		do = 41.0151369561602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10256035--2.10251242) × cos(1.43606628) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.134322809116181 × 6371000     		du = 41.0170856670446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43607272)-sin(1.43606628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.13431642747507-0.134322809116181)×R²
    abs(-2.10251242--2.10256035)×6.38164111105288e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.38164111105288e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.38164111105288e-06×40589641000000     		ar = 1682.85987491087m²