Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21672 / 8808
↖ ↑ ↗
← N 82.457422°
W120.476074°		 ← 40.08 m → N 82.457422°
W120.473328°		 →
↑
40.07 m
↓
↑
40.07 m
↓
N 82.457061°
W120.476074°		 ← 40.08 m →
1 606 m²		 N 82.457061°
W120.473328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165348052978516 y=0.0672035217285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165348052978516 × 217)
    floor (0.165348052978516 × 131072)
    floor (21672.5)     		tx = 21672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0672035217285156 × 217)
    floor (0.0672035217285156 × 131072)
    floor (8808.5)     		ty = 8808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21672 / 8808 ti = "17/21672/8808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21672/8808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21672 ÷ 217
    21672 ÷ 131072     		x = 0.16534423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8808 ÷ 217
    8808 ÷ 131072     		y = 0.06719970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16534423828125 × 2 - 1) × π
    -0.6693115234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.10270416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06719970703125 × 2 - 1) × π
    0.8656005859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.71936444164655
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10270416} λ = -2.10270416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.71936444164655))-π/2
    2×atan(15.1706773296209)-π/2
    2×1.50497491301232-π/2
    3.00994982602465-1.57079632675     		φ = 1.43915350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10270416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.476074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43915350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.457422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21672 KachelY 8808 -2.10270416 1.43915350 -120.476074 82.457422
    Oben rechts KachelX + 1 21673 KachelY 8808 -2.10265623 1.43915350 -120.473328 82.457422
    Unten links KachelX 21672 KachelY + 1 8809 -2.10270416 1.43914721 -120.476074 82.457061
    Unten rechts KachelX + 1 21673 KachelY + 1 8809 -2.10265623 1.43914721 -120.473328 82.457061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43915350-1.43914721) × R
    6.28999999996438e-06 × 6371000     		dl = 40.0735899997731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43915350-1.43914721) × R
    6.28999999996438e-06 × 6371000     		dr = 40.0735899997731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10270416--2.10265623) × cos(1.43915350) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.131262931401308 × 6371000     		do = 40.0827151964787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10270416--2.10265623) × cos(1.43914721) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.131269166975048 × 6371000     		du = 40.0846193039342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43915350)-sin(1.43914721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.131262931401308-0.131269166975048)×R²
    abs(-2.10265623--2.10270416)×6.23557374004879e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.23557374004879e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.23557374004879e-06×40589641000000     		ar = 1606.29644707142m²