Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2167 / 6430
↖ ↑ ↗
← S 71.045529°
W 84.770508°		 ← 1 587.21 m → S 71.045529°
W 84.726563°		 →
↑
1 586.63 m
↓
↑
1 586.63 m
↓
S 71.059798°
W 84.770508°		 ← 1 586.06 m →
2 517 415 m²		 S 71.059798°
W 84.726563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.26458740234375 y=0.78497314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.26458740234375 × 213)
    floor (0.26458740234375 × 8192)
    floor (2167.5)     		tx = 2167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78497314453125 × 213)
    floor (0.78497314453125 × 8192)
    floor (6430.5)     		ty = 6430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2167 / 6430 ti = "13/2167/6430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2167/6430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2167 ÷ 213
    2167 ÷ 8192     		x = 0.2645263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6430 ÷ 213
    6430 ÷ 8192     		y = 0.784912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2645263671875 × 2 - 1) × π
    -0.470947265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.47952447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784912109375 × 2 - 1) × π
    -0.56982421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.79015557941138
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47952447} λ = -1.47952447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79015557941138))-π/2
    2×atan(0.166934196122647)-π/2
    2×0.165408965046793-π/2
    0.330817930093586-1.57079632675     		φ = -1.23997840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47952447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.770508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23997840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.045529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2167 KachelY 6430 -1.47952447 -1.23997840 -84.770508 -71.045529
    Oben rechts KachelX + 1 2168 KachelY 6430 -1.47875748 -1.23997840 -84.726563 -71.045529
    Unten links KachelX 2167 KachelY + 1 6431 -1.47952447 -1.24022744 -84.770508 -71.059798
    Unten rechts KachelX + 1 2168 KachelY + 1 6431 -1.47875748 -1.24022744 -84.726563 -71.059798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23997840--1.24022744) × R
    0.000249039999999923 × 6371000     		dl = 1586.63383999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23997840--1.24022744) × R
    0.000249039999999923 × 6371000     		dr = 1586.63383999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47952447--1.47875748) × cos(-1.23997840) × R
    0.000766990000000023 × 0.324816713297394 × 6371000     		do = 1587.21469000762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47952447--1.47875748) × cos(-1.24022744) × R
    0.000766990000000023 × 0.32458116692711 × 6371000     		du = 1586.06369424974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23997840)-sin(-1.24022744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324816713297394-0.32458116692711)×R²
    abs(-1.47875748--1.47952447)×0.000235546370284168×R²
    0.000766990000000023×0.000235546370284168×6371000²
    0.000766990000000023×0.000235546370284168×40589641000000     		ar = 2517415.44711046m²