Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2166 / 2314
↖ ↑ ↗
← S 22.755921°
E 10.371094°		 ← 9 012.27 m → S 22.755921°
E 10.458984°		 →
↑
9 009.61 m
↓
↑
9 009.61 m
↓
S 22.836946°
E 10.371094°		 ← 9 006.91 m →
81 172 933 m²		 S 22.836946°
E 10.458984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5289306640625 y=0.5650634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5289306640625 × 212)
    floor (0.5289306640625 × 4096)
    floor (2166.5)     		tx = 2166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5650634765625 × 212)
    floor (0.5650634765625 × 4096)
    floor (2314.5)     		ty = 2314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2166 / 2314 ti = "12/2166/2314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2166/2314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2166 ÷ 212
    2166 ÷ 4096     		x = 0.52880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2314 ÷ 212
    2314 ÷ 4096     		y = 0.56494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52880859375 × 2 - 1) × π
    0.0576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.18100973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56494140625 × 2 - 1) × π
    -0.1298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.408038889565918
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18100973} λ = 0.18100973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.408038889565918))-π/2
    2×atan(0.66495301858531)-π/2
    2×0.586815293295521-π/2
    1.17363058659104-1.57079632675     		φ = -0.39716574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18100973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.371094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.39716574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.755921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2166 KachelY 2314 0.18100973 -0.39716574 10.371094 -22.755921
    Oben rechts KachelX + 1 2167 KachelY 2314 0.18254371 -0.39716574 10.458984 -22.755921
    Unten links KachelX 2166 KachelY + 1 2315 0.18100973 -0.39857990 10.371094 -22.836946
    Unten rechts KachelX + 1 2167 KachelY + 1 2315 0.18254371 -0.39857990 10.458984 -22.836946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.39716574--0.39857990) × R
    0.00141416 × 6371000     		dl = 9009.61335999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.39716574--0.39857990) × R
    0.00141416 × 6371000     		dr = 9009.61335999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18100973-0.18254371) × cos(-0.39716574) × R
    0.00153397999999999 × 0.922161005903359 × 6371000     		do = 9012.26713529277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18100973-0.18254371) × cos(-0.39857990) × R
    0.00153397999999999 × 0.921613078060589 × 6371000     		du = 9006.91224383857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.39716574)-sin(-0.39857990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922161005903359-0.921613078060589)×R²
    abs(0.18254371-0.18100973)×0.000547927842769913×R²
    0.00153397999999999×0.000547927842769913×6371000²
    0.00153397999999999×0.000547927842769913×40589641000000     		ar = 81172933.163027m²