Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21658 / 9304
↖ ↑ ↗
← N 82.276478°
W120.514526°		 ← 41.05 m → N 82.276478°
W120.511780°		 →
↑
41.03 m
↓
↑
41.03 m
↓
N 82.276109°
W120.514526°		 ← 41.05 m →
1 684 m²		 N 82.276109°
W120.511780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165241241455078 y=0.0709877014160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165241241455078 × 217)
    floor (0.165241241455078 × 131072)
    floor (21658.5)     		tx = 21658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0709877014160156 × 217)
    floor (0.0709877014160156 × 131072)
    floor (9304.5)     		ty = 9304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21658 / 9304 ti = "17/21658/9304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21658/9304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21658 ÷ 217
    21658 ÷ 131072     		x = 0.165237426757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9304 ÷ 217
    9304 ÷ 131072     		y = 0.07098388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.165237426757812 × 2 - 1) × π
    -0.669525146484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.10337528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07098388671875 × 2 - 1) × π
    0.8580322265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.695587739435
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10337528} λ = -2.10337528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.695587739435))-π/2
    2×atan(14.8142230982074)-π/2
    2×1.50339587918913-π/2
    3.00679175837826-1.57079632675     		φ = 1.43599543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10337528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.514526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43599543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.276478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21658 KachelY 9304 -2.10337528 1.43599543 -120.514526 82.276478
    Oben rechts KachelX + 1 21659 KachelY 9304 -2.10332734 1.43599543 -120.511780 82.276478
    Unten links KachelX 21658 KachelY + 1 9305 -2.10337528 1.43598899 -120.514526 82.276109
    Unten rechts KachelX + 1 21659 KachelY + 1 9305 -2.10332734 1.43598899 -120.511780 82.276109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43599543-1.43598899) × R
    6.43999999994094e-06 × 6371000     		dl = 41.0292399996237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43599543-1.43598899) × R
    6.43999999994094e-06 × 6371000     		dr = 41.0292399996237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10337528--2.10332734) × cos(1.43599543) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.134393016709947 × 6371000     		do = 41.0470865794412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10337528--2.10332734) × cos(1.43598899) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.134399398284182 × 6371000     		du = 41.0490356764741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43599543)-sin(1.43598899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134393016709947-0.134399398284182)×R²
    abs(-2.10332734--2.10337528)×6.38157423449304e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.38157423449304e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.38157423449304e-06×40589641000000     		ar = 1684.17075158631m²