Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21656 / 9306
↖ ↑ ↗
← N 82.275740°
W120.520020°		 ← 41.05 m → N 82.275740°
W120.517273°		 →
↑
41.09 m
↓
↑
41.09 m
↓
N 82.275370°
W120.520020°		 ← 41.05 m →
1 687 m²		 N 82.275370°
W120.517273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165225982666016 y=0.0710029602050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165225982666016 × 217)
    floor (0.165225982666016 × 131072)
    floor (21656.5)     		tx = 21656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0710029602050781 × 217)
    floor (0.0710029602050781 × 131072)
    floor (9306.5)     		ty = 9306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21656 / 9306 ti = "17/21656/9306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21656/9306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21656 ÷ 217
    21656 ÷ 131072     		x = 0.16522216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9306 ÷ 217
    9306 ÷ 131072     		y = 0.0709991455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16522216796875 × 2 - 1) × π
    -0.6695556640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.10347116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0709991455078125 × 2 - 1) × π
    0.858001708984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.69549186563576
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10347116} λ = -2.10347116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69549186563576))-π/2
    2×atan(14.8128028704386)-π/2
    2×1.50338943649862-π/2
    3.00677887299724-1.57079632675     		φ = 1.43598255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10347116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.520020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43598255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.275740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21656 KachelY 9306 -2.10347116 1.43598255 -120.520020 82.275740
    Oben rechts KachelX + 1 21657 KachelY 9306 -2.10342322 1.43598255 -120.517273 82.275740
    Unten links KachelX 21656 KachelY + 1 9307 -2.10347116 1.43597610 -120.520020 82.275370
    Unten rechts KachelX + 1 21657 KachelY + 1 9307 -2.10342322 1.43597610 -120.517273 82.275370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43598255-1.43597610) × R
    6.45000000010221e-06 × 6371000     		dl = 41.0929500006512m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43598255-1.43597610) × R
    6.45000000010221e-06 × 6371000     		dr = 41.0929500006512m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10347116--2.10342322) × cos(1.43598255) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.134405779852842 × 6371000     		do = 41.0509847718046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10347116--2.10342322) × cos(1.43597610) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.134412171325184 × 6371000     		du = 41.0529368919741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43598255)-sin(1.43597610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134405779852842-0.134412171325184)×R²
    abs(-2.10342322--2.10347116)×6.39147234146598e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.39147234146598e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.39147234146598e-06×40589641000000     		ar = 1686.9461737209m²